随伴の基本性質

$A, B$ を $n$ 次複素正方行列、$c \in \mathbb{C}$ とする。

1. すべての $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^n$ に対して $\langle A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x}, A^{*}\boldsymbol{y}\rangle$ が成り立つ。さらに、この等式をすべての $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ について満たす行列は $A^{*}$ のみである。
2. $(A^{*})^{*} = A$、$(A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}$、$(cA)^{*} = \bar{c}\,A^{*}$、$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$。
3. $\ker A^{*} = (\operatorname{im} A)^{\perp}$。ここで $\operatorname{im} A = \{A\boldsymbol{x} : \boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n\}$ は $A$ の像である。