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ユニタリ行列の特徴づけ

命題 3.2（「スペクトル定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$U$ を $n$ 次複素正方行列とする。次の 4 条件は同値である。

$U^{*}U = I$ 。
すべての $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^n$ に対して $\langle U\boldsymbol{x}, U\boldsymbol{y}\rangle = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$ 。
すべての $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n$ に対して $\|U\boldsymbol{x}\| = \|\boldsymbol{x}\|$ 。
$U$ の $n$ 本の列ベクトルは $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底をなす。

これらが成り立つとき $U$ は正則で $U^{-1} = U^{*}$ 、したがって $UU^{*} = I$ も成り立つ（つまり定義 3.1 のユニタリ行列の条件のうち片方だけを仮定すれば十分である）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
- 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理

これを使っている定理証明で参照している 13 件

エルミート行列の生成するユニタリ群✓補題 2.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
Crank–Nicolson 法のユニタリ性と誤差✓定理 6.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
等長変換は直交行列と平行移動の合成✓定理 2.2・合同と相似
3 点を移す等長変換の存在✓補題 3.3・合同と相似
シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
スペクトル定理（正規行列）✓定理 8.1・スペクトル定理
正規行列での GMRES の収束✓定理 4.2・Krylov 部分空間法 II
擬似逆による最小ノルム解✓定理 4.2・最小二乗問題
打ち切り特異値分解の解✓命題 7.1・最小二乗問題
ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数

関連するノック 4 問