数学 › 数値線形代数 › 最小二乗問題

打ち切り特異値分解の解

命題 7.1（「最小二乗問題」§7） ・ ✓公理まで証明済み

1≤k≤r1\le k\le r とし、Ak=∑i≤kσiuivi∗A_k=\sum_{i\le k}\sigma_i\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{v}_i^{*} とする。xk:=Ak+b\boldsymbol{x}_k:=A_k^{+}\boldsymbol{b} は ∥Akx−b∥\|A_k\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\| の最小ノルムの最小二乗解で、

xk=∑i=1kui∗bσivi,∥xk∥2=∑i=1k∣ui∗b∣2σi2,∥b−Axk∥2=∑i=k+1m∣ui∗b∣2.\boldsymbol{x}_k=\sum_{i=1}^k\frac{\boldsymbol{u}_i^{*}\boldsymbol{b}}{\sigma_i}\boldsymbol{v}_i,\qquad\|\boldsymbol{x}_k\|^2=\sum_{i=1}^k\frac{|\boldsymbol{u}_i^{*}\boldsymbol{b}|^2}{\sigma_i^2},\qquad\|\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}_k\|^2=\sum_{i=k+1}^m|\boldsymbol{u}_i^{*}\boldsymbol{b}|^2.

とくに ∥xk∥\|\boldsymbol{x}_k\| は kk について非減少、残差は非増加である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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