数学 › 数値線形代数 › 最小二乗問題

擬似逆による最小ノルム解

定理 4.2（「最小二乗問題」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\boldsymbol{x}^{+}=A^{+}\boldsymbol{b}$ は最小二乗解であり、最小二乗解の中でノルムが最小のものはこれただ 1 つである。具体的に

\boldsymbol{x}^{+}=\sum_{i=1}^r\frac{\boldsymbol{u}_i^{*}\boldsymbol{b}}{\sigma_i}\boldsymbol{v}_i,\qquad\min_{\boldsymbol{x}}\|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\|^2=\sum_{i=r+1}^m|\boldsymbol{u}_i^{*}\boldsymbol{b}|^2.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
  - 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Moore–Penrose の条件✓命題 4.3・最小二乗問題
打ち切り特異値分解の解✓命題 7.1・最小二乗問題
Tikhonov 正則化とフィルタ因子✓命題 7.2・最小二乗問題

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