Moore–Penrose の条件

命題 4.3（「最小二乗問題」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X=A^{+}$ は次の 4 条件を満たす: $AXA=A$ 、 $XAX=X$ 、 $(AX)^{*}=AX$ 、 $(XA)^{*}=XA$ 。
4 条件を満たす $X\in\mathbb{K}^{n\times m}$ はただ 1 つである。とくに $A^{+}$ は特異値分解の選び方によらず、 $A$ が実行列なら $A^{+}$ も実行列である。
$\operatorname{rank}A=n$ なら $A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}$ 、 $A^{+}A=I_n$ 。
任意の $\boldsymbol{b}$ について $AA^{+}\boldsymbol{b}=P\boldsymbol{b}$ （ $P$ は $\operatorname{im}A$ への直交射影）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題
- 最良近似✓定理 7.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
  - ピタゴラスの定理✓補題 4.4・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
  - 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
    階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
  - 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式
    行列の積定義 4.1・行列と連立一次方程式
  - 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
擬似逆による最小ノルム解✓定理 4.2・最小二乗問題
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

擬似逆の微分✓補題 6.1・最小二乗問題
最小二乗問題の感度✓定理 6.2・最小二乗問題

Moore–Penrose の条件

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件