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グラム・シュミットの直交化

定理 6.1（「内積空間とグラム・シュミット直交化」§6）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を $\mathbb{K}$ 上の内積空間とし、 $v_1,\ldots,v_n\in V$ を一次独立なベクトルとする。次の漸化式

u_1 = v_1,\qquad u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,e_j\rangle e_j \quad (k=2,\ldots,n), \qquad e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}

は矛盾なく実行でき（すなわち各 $k$ で $u_k\ne 0$ ）、得られる $e_1,\ldots,e_n$ は次を満たす。

$e_1,\ldots,e_n$ は正規直交系である。
すべての $k=1,\ldots,n$ に対して $\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_k) = \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$ 。
すべての $k$ に対して $\langle v_k,e_k\rangle = \|u_k\| > 0$ 。

さらに、条件 1・2・3 を満たす正規直交系 $e_1,\ldots,e_n$ はこれ以外に存在しない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理証明で参照している 10 件

Ritz 値のミニマックス表示✓補題 2.3・固有値問題の離散化
ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
実対称行列のスペクトル定理✓定理 5.2・対角化とジョルダン標準形
正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
先頭の列の収束✓系 6.3・固有値の計算 I
QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解
厳密な算術では CGS と MGS は一致する✓命題 6.2・QR 分解
円周上の関数環の K 群✓命題 6.3・K-理論入門
直交多項式の存在と一意性✓定理 2.2・直交多項式
時間反転対称なハミルトニアンの実表示✓定理 7.1・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退

関連するノック 2 問