実対称行列のスペクトル定理

定理 5.2（「対角化とジョルダン標準形」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A \in M_n(\mathbb{R})$ が $A^{\mathsf{T}} = A$ を満たすとする。このとき直交行列 $Q \in M_n(\mathbb{R})$ （ $Q^{\mathsf{T}}Q = I$ ）と実対角行列 $D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ が存在して

Q^{\mathsf{T}}AQ = D, \qquad \text{すなわち} \qquad A = QDQ^{\mathsf{T}} = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i q_iq_i^{\mathsf{T}}

が成り立つ。ここで $q_i$ は $Q$ の第 $i$ 列である。言い換えると、 $\mathbb{R}^n$ は $A$ の固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列の固有値と固有ベクトル✓補題 5.1・対角化とジョルダン標準形
グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形

これを使っている定理証明で参照している 5 件

2 次形式の符号と固有値✓補題 9.12・多変数関数の微分と偏微分
指数減衰する正定値行列の逆と平方根の減衰（Combes–Thomas の方法）✓補題 4.5・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部
有限体積の泡図形の下界✓補題 7.8・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部
積分と和の体積の費用✓補題 4.8・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 3 部
Gauss 部分と log det の表示（(3.33)–(3.36)）✓命題 5.6・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)

実対称行列のスペクトル定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件