数学 › 微分積分学 › 多変数関数の微分と偏微分

2 次形式の符号と固有値

補題 9.12（「多変数関数の微分と偏微分」§9）・ ✓公理まで証明済み

$H$ を $n$ 次実対称行列とし、その固有値を $\lambda_1\le\dots\le\lambda_n$ とします（実数になります）。すべての $\boldsymbol h\in\mathbb{R}^n$ に対し

\lambda_1\|\boldsymbol h\|^2\le\boldsymbol h^{\mathsf{T}}H\boldsymbol h\le\lambda_n\|\boldsymbol h\|^2

が成り立ち、最小値・最大値は対応する固有ベクトルで達成されます。したがって、 $H$ が正定値であることは $\lambda_1>0$ と、負定値であることは $\lambda_n<0$ と、不定値であることは $\lambda_1<0<\lambda_n$ と、それぞれ同値です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列のスペクトル定理✓定理 5.2・対角化とジョルダン標準形
- 実対称行列の固有値と固有ベクトル✓補題 5.1・対角化とジョルダン標準形
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形

これを使っている定理証明で参照している 1 件

ヘッセ行列による極値判定（n 変数）✓定理 9.13・多変数関数の微分と偏微分