QR 分解の存在と一意性

定理 4.1（「QR 分解」§4）・ ✓公理まで証明済み

任意の $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ について、直交行列 $Q\in\mathbb{R}^{m\times m}$ と上三角（ $i>j$ で $r_{ij}=0$ ）の $R\in\mathbb{R}^{m\times n}$ で $A=QR$ となるものがある。 $Q$ は高々 $\min(m,n)$ 個の Householder 鏡映の積にとれる。
$A$ の列 $\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n$ が一次独立（したがって $m\ge n$ ）なら、列が正規直交な $Q_1\in\mathbb{R}^{m\times n}$ と対角成分が正の上三角行列 $R_1\in\mathbb{R}^{n\times n}$ で $A=Q_1R_1$ となるもの（薄い QR 分解）がただ 1 組存在する。 $Q_1$ の第 $k$ 列は $\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n$ を Gram–Schmidt の直交化で正規直交化した第 $k$ のベクトルであり、 $r_{kk}=\boldsymbol{q}_k^{\mathsf{T}}\boldsymbol{a}_k$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。