数学 › 数値線形代数 › QR 分解

Householder 鏡映の性質

命題 3.2（「QR 分解」§3）・ ✓公理まで証明済み

任意の $\boldsymbol{v}\ne\boldsymbol{0}$ について、 $P=I-\beta\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}^{\mathsf{T}}$ は対称な直交行列で $P^2=I$ 。 $P\boldsymbol{v}=-\boldsymbol{v}$ 、 $\boldsymbol{w}\perp\boldsymbol{v}$ なら $P\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}$ 。
$\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$ の Householder 鏡映では $|v_1|=|x_1|+\sigma\ge\sigma>0$ 、 $\boldsymbol{v}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{v}=2\sigma|v_1|$ （したがって $\beta=1/(\sigma|v_1|)$ ）で、 $P\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{e}_1$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Householder 変換による Hessenberg 化✓定理 4.1・固有値の計算 II
QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解
鏡映 1 回の丸め誤差✓補題 5.1・QR 分解
Householder QR の後退安定性✓定理 5.3・QR 分解
Householder 変換による二重対角化✓定理 6.4・対称固有値問題と特異値分解の計算

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