数学 › 数値線形代数 › QR 分解

Householder QR の後退安定性

定理 5.3（「QR 分解」§5）・ ✓公理まで証明済み

上の算法でアンダーフロー・オーバーフローが起きず、 $86mnu<1$ とする。 $Q=P_1P_2\cdots P_n$ は直交行列で、

$A+\Delta A=Q\widehat R$ 、 $\|\Delta\boldsymbol{a}_j\|_2\le\gamma_{43mn}\|\boldsymbol{a}_j\|_2$ （ $j=1,\ldots,n$ 、 $\Delta\boldsymbol{a}_j$ は $\Delta A$ の第 $j$ 列）。とくに $\|\Delta A\|_F\le\gamma_{43mn}\|A\|_F$ 。
$\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^m$ に同じ鏡映を順に作用させた計算値 $\widehat{\boldsymbol{c}}$ について、 $\widehat{\boldsymbol{c}}=Q^{\mathsf{T}}(\boldsymbol{b}+\Delta\boldsymbol{b})$ 、 $\|\Delta\boldsymbol{b}\|_2\le\gamma_{43mn}\|\boldsymbol{b}\|_2$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Householder 鏡映の性質✓命題 3.2・QR 分解
鏡映 1 回の丸め誤差✓補題 5.1・QR 分解
- γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差
- 四則の標準モデル✓系 3.1・浮動小数点数と丸め誤差
  - 丸めの方向と正しい丸め定義 2.2・浮動小数点数と丸め誤差
  - 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算
    浮動小数の間隔✓補題 2.2・浮動小数と区間演算
- 内積の丸め誤差✓定理 3.3・浮動小数と区間演算
  - 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算（上で展開済み）
  - 誤差因子の積✓補題 3.2・浮動小数と区間演算
- 逆数と平方根の誤差因子✓補題 2.2・QR 分解
- Householder 鏡映の性質✓命題 3.2・QR 分解
誤差を含む直交変換の積み重ね✓補題 5.2・QR 分解
- γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Householder QR による最小二乗法の後退安定性✓系 5.2・最小二乗問題
Givens QR の後退安定性✓定理 5.5・QR 分解

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