Householder 変換による二重対角化

定理 6.4（「対称固有値問題と特異値分解の計算」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ （ $m \ge n \ge 2$ ）について、Householder 鏡映（または単位行列）の積である直交行列 $U \in \mathbb{R}^{m\times m}$ 、 $V \in \mathbb{R}^{n\times n}$ があって

U^{\mathsf{T}}AV = \begin{pmatrix} B \\ O \end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix} d_1 & e_1 & & \\ & d_2 & \ddots & \\ & & \ddots & e_{n-1} \\ & & & d_n \end{pmatrix}

（ $B$ は上二重対角）となる。 $A$ と $B$ の特異値は等しい。演算量は約 $4mn^2 - 4n^3/3$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Householder 鏡映の性質✓命題 3.2・QR 分解
特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Householder 変換による二重対角化

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）