特異値分解

定理 4.1（「行列の分解と標準形」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ 、 $r=\operatorname{rank}A$ とする。ユニタリ行列 $U\in M_m(\mathbb{C})$ 、 $V\in M_n(\mathbb{C})$ と、実数 $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge\sigma_r>0$ が存在して

A=U\Sigma V^{*},\qquad\Sigma\in M_{m,n}(\mathbb{R}),\quad\Sigma_{ii}=\sigma_i\ (i\le r),\ \text{その他の成分は }0

となる。 $\sigma_1^2,\ldots,\sigma_r^2$ は $A^{*}A$ の $0$ でない固有値（重複度を込める）であり、 $\sigma_i$ を $A$ の特異値という。 $V$ の第 $i$ 列 $\boldsymbol{v}_i$ を右特異ベクトル、 $U$ の第 $i$ 列 $\boldsymbol{u}_i$ を左特異ベクトルといい、 $A\boldsymbol{v}_i=\sigma_i\boldsymbol{u}_i$ （ $i\le r$ ）、 $A\boldsymbol{v}_i=0$ （ $i>r$ ）が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 6 件

ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
Jordan–Wielandt の拡大行列✓定理 6.1・対称固有値問題と特異値分解の計算
Householder 変換による二重対角化✓定理 6.4・対称固有値問題と特異値分解の計算
転送行列の基本性質✓補題 5.2・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
定理 7.2✓Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

特異値分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件