数学 › 線形代数学 › 内積空間とグラム・シュミット直交化

直交分解定理

定理 7.1（「内積空間とグラム・シュミット直交化」§7） ・ ✓公理まで証明済み

VV を K\mathbb{K} 上の内積空間、W⊆VW\subseteq V を有限次元の部分空間とする。このとき次が成り立つ。

  1. V=W⊕W⊥V = W \oplus W^{\perp}。すなわち任意の x∈Vx\in V は x=w+w′x = w+w'（w∈Ww\in W、w′∈W⊥w'\in W^{\perp}）の形にただ一通りに書ける。
  2. WW の正規直交基底を e1,…,eme_1,\ldots,e_m とすると、上の ww は w=∑k=1m⟨x,ek⟩ekw = \sum_{k=1}^{m}\langle x,e_k\rangle e_k で与えられる。この ww を PWxP_Wx と書き、xx の WW への直交射影という。写像 PW:V→VP_W:V\to V は線形で、PW2=PWP_W^2=P_W、im⁡PW=W\operatorname{im}P_W = W、ker⁡PW=W⊥\ker P_W = W^{\perp} を満たす。
  3. (W⊥)⊥=W(W^{\perp})^{\perp} = W。
  4. さらに VV が有限次元ならば dim⁡W⊥=dim⁡V−dim⁡W\dim W^{\perp} = \dim V - \dim W。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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