Arnoldi の関係式

定理 3.2（「Krylov 部分空間法 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$d$ を $\boldsymbol{b}$ の次数とする。Arnoldi の過程は $j = 1, \ldots, d - 1$ では停止せず（ $h_{j+1,j} > 0$ ）、 $j = d$ で停止する（ $h_{d+1,d} = 0$ ）。 $1 \le k \le d$ について次が成り立つ。

$\boldsymbol{q}_1, \ldots, \boldsymbol{q}_k$ は正規直交で $\mathcal{K}_k(A, \boldsymbol{b})$ を張る。
$k < d$ なら $AQ_k = Q_{k+1}\tilde{H}_k$ 、 $k = d$ なら $AQ_d = Q_dH_d$ 。
$H_k = Q_k^{*}AQ_k$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
- 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理証明で参照している 5 件

GMRES の最小残差性と実装✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 II
Arnoldi が止まれば厳密解✓命題 3.3・Krylov 部分空間法 II
Lanczos の三項漸化式✓系 3.3・Krylov 部分空間法 I
Ritz 値の最適性と交互性✓定理 4.2・Krylov 部分空間法 I
共役勾配法と Lanczos 法の関係✓定理 6.1・Krylov 部分空間法 I

Arnoldi の関係式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件