Arnoldi が止まれば厳密解

命題 3.3（「Krylov 部分空間法 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$k=d$ （Arnoldi の過程が $h_{d+1,d}=0$ で止まる）のとき、 $H_d$ は正則で $\boldsymbol{x}_d=\boldsymbol{x}_0+Q_dH_d^{-1}(\beta\boldsymbol{e}_1)$ は $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ の厳密解であり、 $\boldsymbol{x}_0+\mathcal{K}_d$ の上で残差を最小にする（ $\boldsymbol{r}_d=\boldsymbol{0}$ ）。とくに厳密な算術では GMRES は $d\le n$ 回以内に厳密解に達し、 $A$ が対角化可能なら相異なる固有値の個数以内に達する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
- Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I（上で展開済み）
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
- 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形

これを使っている定理証明で参照している 1 件

残差多項式✓補題 4.1・Krylov 部分空間法 II

Arnoldi が止まれば厳密解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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