数学 › 数値線形代数 › Krylov 部分空間法 I

Krylov 部分空間の基本性質

命題 2.2（「Krylov 部分空間法 I」§2）・ ✓公理まで証明済み

定義 2.1 の記号で次が成り立つ。

$\mathcal{K}_k(A, \boldsymbol{b}) = \{p(A)\boldsymbol{b} : p \in \mathcal{P}_{k-1}\}$ 。
$\dim\mathcal{K}_k(A, \boldsymbol{b}) = \min(k, d)$ であり、 $k \ge d$ なら $\mathcal{K}_k = \mathcal{K}_d$ で、 $\mathcal{K}_d$ は $A$ で不変である。
$A$ が対角化可能で相異なる固有値が $s$ 個なら $d \le s$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Arnoldi が止まれば厳密解✓命題 3.3・Krylov 部分空間法 II
残差多項式✓補題 4.1・Krylov 部分空間法 II
Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
最大の Ritz 値の収束（Kaniel–Paige の評価）✓定理 4.3・Krylov 部分空間法 I
有限回での停止✓系 5.3・Krylov 部分空間法 I

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