最大の Ritz 値の収束（Kaniel–Paige の評価）

定理 4.3（「Krylov 部分空間法 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_n$ とし、 $\boldsymbol{u}_1^{*}\boldsymbol{b} \ne 0$ 、 $1 \le k \le d$ とする。

\gamma = \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_n}

とおくと

0 \le \lambda_1 - \theta_1^{(k)} \le (\lambda_1 - \lambda_n)\left(\frac{\tan\angle(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{u}_1)}{T_{k-1}(1 + 2\gamma)}\right)^2

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Ritz 値の最適性と交互性✓定理 4.2・Krylov 部分空間法 I
- レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
  - 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
    実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
- コーシーの交互定理✓定理 3.3・行列の固有値評価と不等式
  - クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
    直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間この先をたどる →
- Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
  - Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I（上で展開済み）
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
- 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
角の基本性質✓補題 2.2・固有値の計算 I
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間
- 零点の個数✓系 2.3・多項式補間
  - 補間多項式の存在と一意性✓定理 2.2・多項式補間
    Vandermonde 行列式✓補題 2.1・多項式補間この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
区間の外での Chebyshev 多項式の増大✓補題 6.4・多項式補間
- Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

最大の Ritz 値の収束（Kaniel–Paige の評価）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）