スペクトル定理（エルミート行列）

定理 4.2（「スペクトル定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を $n$ 次エルミート行列（ $A^{*} = A$ ）とする。このとき、 $n$ 次ユニタリ行列 $U$ と、実数を対角成分に持つ対角行列 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ が存在して

A = U\Lambda U^{*},\qquad \text{すなわち}\qquad U^{*}AU = \Lambda

が成り立つ。 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ は重複度を込めた $A$ の固有値であり、 $U$ の列ベクトル $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_n$ は $A\boldsymbol{u}_k = \lambda_k\boldsymbol{u}_k$ を満たす $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底である。

言い換えると、 $\mathbb{C}^n$ は $A$ の固有ベクトルからなる正規直交基底を持つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
- 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
- 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
  - 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 27 件

勾配の大きさの指数的な上界✓命題 8.1・ニューラルネットワークと逆伝播
エルミート行列の生成するユニタリ群✓補題 2.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
leapfrog 法の安定条件✓定理 3.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
Crank–Nicolson 法のユニタリ性と誤差✓定理 6.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
指数関数が縮小になる 2 つの場合✓補題 2.2・経路積分 Monte Carlo
2 つの推定量の期待値と分散✓命題 6.2・経路積分 Monte Carlo
可逆な遷移行列の固有分解✓補題 2.3・統計誤差の解析
熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開
正規行列の特徴づけ✓命題 3.2・行列の分解と標準形
特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形
クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
スペクトル定理（正規行列）✓定理 8.1・スペクトル定理
Wilks の定理✓定理 5.2・検定と区間推定
一般化最小二乗（Aitken）✓定理 6.1・線形モデル
有限回での停止✓系 5.3・Krylov 部分空間法 I
共役勾配法の収束の評価✓定理 5.4・Krylov 部分空間法 I
前処理つき共役勾配法✓定理 6.2・Krylov 部分空間法 I
離散 Laplace 行列の条件数✓系 8.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
Hermite 行列の冪乗法✓系 3.5・固有値の計算 I
Rayleigh 商反復の局所 3 次収束✓定理 5.2・固有値の計算 I
残差による固有ベクトルの評価（sin θ 評価）✓定理 5.2・対称固有値問題と特異値分解の計算
一般化固有関数の存在（Schnol–Berezanskii 型）✓補題 8.1・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
2 世代の物質中の混合（MSW 効果）✓定理 5.5・弱い相互作用とニュートリノ
無限井戸のスペクトル✓定理 3.1・1次元の簡単な系

スペクトル定理（エルミート行列）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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