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離散 Laplace 行列の条件数

系 8.4（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 三重対角 Toeplitz 行列の固有値✓補題 8.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
• スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理

  • 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル

    • 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    • 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル

      • 固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
  • エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理

    • 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理

      • 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
  • 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理

    • 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    • 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  • 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化

    • 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化

      • グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化 この先をたどる →
      • 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  • ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理

    • 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
• ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数

  • ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  • 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形

    • スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    • 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
  • 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数

    • 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形

      • 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間 この先をたどる →
• ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

  • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理

    • 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理

      • 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
      • 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性 この先をたどる →
      • 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性 この先をたどる →
    • 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    • フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理

      • 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 離散 Laplace 作用素のスペクトル✓命題 3.1・楕円型・放物型方程式の差分法
• 剛性行列と質量行列の条件数✓命題 6.3・有限要素法 I