剛性行列と質量行列の条件数

命題 6.3（「有限要素法 I」§6）・ ✓公理まで証明済み

モデル問題の双線形形式 $a$ と、定数 $\gamma$ で準一様な分割について、2 ノルムの条件数（定義 6.2［行列のノルムと線形方程式の条件数］）は

\kappa_2(G) \le 3\gamma,\qquad\kappa_2(K) \le \frac{36M\gamma^3}{\pi^2p_0}\,h^{-2}

を満たす。等間隔の分割で $p = 1$ 、 $q = 0$ のときは $\kappa_2(K) = \cot^2\frac{\pi h}{2} \ge \frac{4}{\pi^2h^2} - 1$ で、 $h^{-2}$ の次数は改良できない。共役勾配法で $K\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b}$ を解くと、エネルギーノルムの誤差を $\varepsilon$ 倍にするのに $k \ge \frac{\sqrt{\kappa_2(K)}}{2}\ln\frac{2}{\varepsilon}$ 回の反復で足り、これは $h^{-1}$ に比例する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 171 件、定義なども含めて 192 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
1 次元の逆不等式と質量行列の評価✓補題 6.2・有限要素法 I
H¹₀(0,1) の基本性質✓補題 3.2・有限要素法 I
- 微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - 全変動の性質✓命題 6.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- 要素ごとの Poincaré 不等式✓補題 6.1・無限次元の固有値の包含
  - 正弦関数系の完全性✓命題 6.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数この先をたどる →
  - 微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理（上で展開済み）
  - ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
等間隔の区分 1 次要素と 3 点差分✓命題 6.1・有限要素法 I
離散 Laplace 行列の条件数✓系 8.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 三重対角 Toeplitz 行列の固有値✓補題 8.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形この先をたどる →
  - 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数この先をたどる →
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
共役勾配法の収束の評価✓定理 5.4・Krylov 部分空間法 I
- 共役勾配法の直交性と最適性✓定理 5.2・Krylov 部分空間法 I
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 区間の外での Chebyshev 多項式の増大✓補題 6.4・多項式補間
  - Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間（上で展開済み）
- Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間
  - 零点の個数✓系 2.3・多項式補間この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

逆不等式と条件数✓命題 6.3・有限要素法 II

剛性行列と質量行列の条件数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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