数学 › 数値線形代数 › 行列のノルムと線形方程式の条件数

三重対角 Toeplitz 行列の固有値

補題 8.3（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§8） ・ ✓公理まで証明済み

n≥1n\ge1、α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R} とし、T∈Mn(R)T\in M_n(\mathbb{R}) を対角成分が α\alpha、すぐ上とすぐ下の副対角成分が β\beta、他が 0 の行列とする。θk=kπ/(n+1)\theta_k=k\pi/(n+1)（k=1,…,nk=1,\ldots,n）とおくと、

Tvk=(α+2βcos⁡θk)vk,vk=(sin⁡(jθk))j=1n≠0T\boldsymbol{v}_k=(\alpha+2\beta\cos\theta_k)\boldsymbol{v}_k,\qquad\boldsymbol{v}_k=\bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{j=1}^n\ne\boldsymbol{0}

であり、β≠0\beta\ne0 のとき α+2βcos⁡θk\alpha+2\beta\cos\theta_k（k=1,…,nk=1,\ldots,n）は相異なり、TT の固有値のすべてである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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