情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 固有値問題の離散化

3 点差分の固有値

定理 3.1（「固有値問題の離散化」§3） ・ ✓公理まで証明済み

M≥2M \ge 2、h=1/Mh = 1/M とし、区間のモデル問題を 3 点差分で離散化した (M−1)(M-1) 次の行列 Ah=1h2tridiag(−1,2,−1)A_h = \frac{1}{h^2}\mathrm{tridiag}(-1, 2, -1) を考える。

  1. AhA_h の固有値は λkFD=4h2sin⁡2kπh2\lambda_k^{\mathrm{FD}} = \dfrac{4}{h^2}\sin^2\dfrac{k\pi h}{2}（k=1,…,M−1k = 1, \ldots, M-1）で、固有ベクトルは厳密な固有関数の格子値 (sin⁡kπxj)j=1M−1(\sin k\pi x_j)_{j=1}^{M-1} である。
  2. k=1,…,M−1k = 1, \ldots, M-1 について 0<λk−λkFD≤λk2h212,4π2<λkFDλk<1.0 \lt \lambda_k - \lambda_k^{\mathrm{FD}} \le \frac{\lambda_k^2h^2}{12},\qquad \frac{4}{\pi^2} \lt \frac{\lambda_k^{\mathrm{FD}}}{\lambda_k} \lt 1.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 50 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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