情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 差分法の整合性・安定性・収束

差分商の打ち切り誤差

補題 2.3（「差分法の整合性・安定性・収束」§2）・ ✓公理まで証明済み

$f$ は $[x-h, x+h]$ を含む開区間で定義された実数値関数とし、 $M_k = \sup_{[x-h,x+h]}|f^{(k)}|$ とおく。

$f$ が $C^2$ 級なら $|D_\pm f(x) - f'(x)| \le \dfrac{h}{2}M_2$ 。
$f$ が $C^3$ 級なら $|D_0f(x) - f'(x)| \le \dfrac{h^2}{6}M_3$ 。
$f$ が $C^4$ 級なら $|D_+D_-f(x) - f''(x)| \le \dfrac{h^2}{12}M_4$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
- コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

5 点差分の収束✓定理 2.5・楕円型・放物型方程式の差分法
θ 法の収束の次数✓定理 4.5・楕円型・放物型方程式の差分法
4 つのスキームの安定性と精度✓定理 7.1・差分法の整合性・安定性・収束
修正方程式：数値粘性と分散✓命題 8.2・差分法の整合性・安定性・収束
波動方程式の leapfrog 法の収束✓定理 4.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

関連するノック 2 問