情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 楕円型・放物型方程式の差分法

θ 法の収束の次数

定理 4.5（「楕円型・放物型方程式の差分法」§4） ・ ✓公理まで証明済み

uu を熱方程式の初期値境界値問題の解とし、uu、utu_t、uttu_{tt}、utttu_{ttt}、∂xku\partial_x^ku（k≤4k \le 4）と uxxtu_{xxt}、uxxttu_{xxtt} が [0,1]×[0,T][0,1]\times[0,T] で連続とする。Mk=max⁡∣∂tku∣M_k = \max|\partial_t^ku| とおく。uj0=u0(xj)u^0_j = u_0(x_j) から θ 法で計算した unu^n と wjn=u(xj,tn)w^n_j = u(x_j, t_n) について、次が成り立つ（tn≤Tt_n \le T）。

  1. ℓ2\ell^2 の安定条件（θ≥12\theta \ge \frac12、または μ≤12(1−2θ)\mu \le \frac{1}{2(1-2\theta)}）のもとで ∥wn−un∥h≤tnτˉ\|w^n - u^n\|_h \le t_n\bar\tau。ここで τˉ=∣θ−12∣Δt M2+Δt26M3+h212M2\bar\tau = \bigl|\theta - \tfrac12\bigr|\Delta t\,M_2 + \dfrac{\Delta t^2}{6}M_3 + \dfrac{h^2}{12}M_2。
  2. μ(1−θ)≤12\mu(1-\theta) \le \frac12 のもとでは、同じ評価が ∥wn−un∥∞\|w^n - u^n\|_\infty についても成り立つ。
  3. θ=0\theta = 0、μ=16\mu = \frac16 で、さらに ∂x6u\partial_x^6u が連続ならば、∥wn−un∥∞≤tnh4135M3\|w^n - u^n\|_\infty \le \dfrac{t_nh^4}{135}M_3。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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