情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 楕円型・放物型方程式の差分法
陽的な方法と陰的な方法の演算量
熱方程式を時刻 まで解くとする。
- 陽的 Euler 法は、安定であるために が必要で、ステップ数は 以上である。1 ステップは 個の成分の更新なので、演算量は に比例する。
- の θ 法の 1 ステップは、 次の正定値対称な三重対角行列 を係数とする連立方程式で、Cholesky 分解（最初に 1 回、演算量 以下）と前進・後退代入（演算量は に比例）で解ける。演算量は 、すなわち に比例する。
- 誤差を にするのに、陽的 Euler は に比例する演算量を要し、Crank–Nicolson は を に比例させて に比例する演算量で足りる。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 63 件、定義なども含めて 71 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
θ 法の ℓ² 安定性✓定理 4.2・楕円型・放物型方程式の差分法
離散 Laplace 作用素のスペクトル✓命題 3.1・楕円型・放物型方程式の差分法
- 三重対角 Toeplitz 行列の固有値✓補題 8.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
離散 Laplace 行列の条件数✓系 8.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 三重対角 Toeplitz 行列の固有値✓補題 8.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理 この先をたどる →
- ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数 この先をたどる →
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
5 点差分の収束✓定理 2.5・楕円型・放物型方程式の差分法
- 差分商の打ち切り誤差✓補題 2.3・差分法の整合性・安定性・収束（上で展開済み）
- 最大値ノルムでの安定性✓定理 2.4・楕円型・放物型方程式の差分法 この先をたどる →
帯行列の分解は帯幅を保つ✓定理 5.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
- 部分ピボット選択つき LU 分解✓定理 2.3・Gauss 消去と LU 分解
LU 分解の存在と一意性✓定理 2.2・Gauss 消去と LU 分解
ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
Cholesky 分解の存在と一意性✓定理 2.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
シュール補行列✓定理 4.2・行列の固有値評価と不等式
- ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式（上で展開済み）
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質 この先をたどる →
- シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形 この先をたどる →
θ 法の収束の次数✓定理 4.5・楕円型・放物型方程式の差分法
差分商の打ち切り誤差✓補題 2.3・差分法の整合性・安定性・収束
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
- θ 法の ℓ² 安定性✓定理 4.2・楕円型・放物型方程式の差分法（上で展開済み）
- 誤差の漸化式✓補題 4.1・差分法の整合性・安定性・収束
- θ 法の離散最大値原理✓定理 4.3・楕円型・放物型方程式の差分法
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。