離散 Laplace 作用素のスペクトル

$h = 1/(m+1)$、$\lambda_k = \dfrac{4}{h^2}\sin^2\dfrac{k\pi h}{2}$（$1 \le k \le m$）とおく。

1. 単位区間では、$\varphi_k(ih) = \sin(ik\pi h)$ が $-\Delta_h\varphi_k = \lambda_k\varphi_k$ を満たし、$\{\varphi_k\}_{k=1}^m$ は $\langle\cdot,\cdot\rangle_h$ について直交する基底である。
2. 単位正方形では、$\varphi_{kl}(ih, jh) = \sin(ik\pi h)\sin(jl\pi h)$（$1 \le k, l \le m$）が $-\Delta_h\varphi_{kl} = (\lambda_k + \lambda_l)\varphi_{kl}$ を満たし、$\{\varphi_{kl}\}$ は直交する基底である。したがって境界で $0$ の格子関数の空間の上で $-\Delta_h$ は対称で正定値であり、固有値は $\lambda_k + \lambda_l$ の全体である。
3. $4 \le \pi^2\bigl(1 - \frac{\pi^2h^2}{12}\bigr) \le \lambda_1 \le \pi^2$ である。したがって、境界で $0$ の格子関数 $v$ について、$d = 1, 2$ で $\|v\|_h \le \dfrac{1}{d\lambda_1}\|\Delta_hv\|_h \le \dfrac{1}{4d}\|\Delta_hv\|_h$ と $\dfrac{1}{d\lambda_1} \le \dfrac{1}{d\pi^2}\Bigl(1 - \dfrac{\pi^2h^2}{12}\Bigr)^{-1}$ が成り立つ。
4. 定理 2.5 の設定で $\|u - u_h\|_h \le \frac{h^2}{48d}\bigl(\max|\partial_x^4u| + \max|\partial_y^4u|\bigr)$（$d = 1$ では括弧の中は $\max|u^{(4)}|$）。