ユニタリ不変性と Frobenius ノルム

命題 4.4（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_{m,n}(\mathbb{K})$ 、 $\operatorname{rank}A=r$ とし、 $U\in M_m(\mathbb{K})$ 、 $V\in M_n(\mathbb{K})$ をユニタリ行列とする。

$\|UAV\|_2=\|A\|_2$ 、 $\|UAV\|_F=\|A\|_F$ 。
$\|A\|_F^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_r^2$ 。
$\|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt r\,\|A\|_2$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
- 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
  - 随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Cholesky 分解の後退安定性✓系 3.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
正規方程式の条件数✓命題 4.4・最小二乗問題
特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
離散 Laplace 行列の条件数✓系 8.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
計算した Q の直交性✓系 5.4・QR 分解

ユニタリ不変性と Frobenius ノルム

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件