正規方程式の条件数

命題 4.4（「最小二乗問題」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\operatorname{rank}A=n$ なら、 $A^{*}A$ の特異値は $\sigma_1^2,\ldots,\sigma_n^2$ で、 $\kappa_2(A^{*}A)=\kappa(A)^2$ 。また $\|A^{+}\|=1/\sigma_n$ 、 $\|(A^{*}A)^{-1}\|=1/\sigma_n^2$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 逆行列の摂動✓補題 6.1・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - 次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
    階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
- ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
- 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形（上で展開済み）
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）

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最小二乗問題の感度✓定理 6.2・最小二乗問題

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閉包の状態

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