数学 › 関数解析と作用素論 › Banach 空間の基本定理

ノルムを実現する汎関数

系 3.4（「Banach 空間の基本定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をノルム空間とする。任意の $x_0\in X\setminus\{0\}$ に対し、 $\|F\| = 1$ かつ $F(x_0) = \|x_0\|$ を満たす $F\in X^*$ が存在する。したがって全 $x\in X$ で

\|x\| = \sup_{F\in X^*,\ \|F\|\le1}|F(x)|

であり（上限は達成される）、 $X^*$ は $X$ の点を分離する： $x\ne y$ なら $F(x)\ne F(y)$ となる $F\in X^*$ がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
- Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理

これを使っている定理証明で参照している 9 件

ベクトル値 Laplace 変換✓定理 7.1・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理
⊙-双対の構造✓定理 8.2・Banach 空間の強連続半群
弱有界な集合は有界✓系 5.4・Banach 空間の基本定理
単位球面の弱閉包✓命題 5.4・局所凸空間と弱位相
回帰的空間の単位球✓系 6.4・局所凸空間と弱位相
Pettis の可測性定理✓定理 3.2・ベクトル値解析と関数計算
特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
Rigal–Gaches の公式✓定理 7.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
代数的公式から Taylor 公式を得る（原論文の §III の証明）✓命題 6.3・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1