数学 › 関数解析と作用素論 › Banach 空間の基本定理

弱有界な集合は有界

系 5.4（「Banach 空間の基本定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をノルム空間、 $S\subset X$ とする。全 $F\in X^*$ について $\sup_{x\in S}|F(x)|<\infty$ ならば、 $\sup_{x\in S}\|x\|<\infty$ である。とくに Hilbert 空間で弱収束する列は有界である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
- Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
双対空間定義 2.6・Banach 空間の基本定理
一様有界性原理（Banach–Steinhaus）✓定理 5.1・Banach 空間の基本定理
- Baire のカテゴリー定理✓定理 4.1・Banach 空間の基本定理
リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
  - 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
  - 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 3 件

閉形式の弱下半連続性✓補題 2.3・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Dunford の定理（弱正則なら強正則）✓定理 5.2・ベクトル値解析と関数計算

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