数学 › 関数解析と作用素論 › Hilbert 空間の基礎

最近点の変分的特徴づけ

補題 3.3（「Hilbert 空間の基礎」§3）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を内積空間、 $K\subset V$ を空でない凸集合、 $x\in V$ 、 $p\in K$ とする。 $\|x - p\| = \inf_{k\in K}\|x - k\|$ であるための必要十分条件は、すべての $k\in K$ に対して $\mathrm{Re}\,\langle x - p, k - p\rangle \le 0$ となることである。とくに $K = M$ が線形部分空間なら、この条件は $x - p\in M^\perp$ と同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 3 件

射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
単体上の不動点✓補題 8.3・局所凸空間と弱位相
自然錐の性質✓命題 7.5・Liouvillean と熱平衡への回帰

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