関数解析と作用素論

数学修士無料 21 章有料 0 章

Hilbert 空間・Banach 空間の基礎から、非有界作用素・スペクトル定理・自己共役性の判定・1 径数群と半群・作用素の収束と摂動まで。

想定読者: 大学院生（理系）、場の量子論の数学を学ぶ研究者

前提テーマ:解析学（実解析）、線形代数学、位相空間論

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章Hilbert 空間の基礎：射影定理・リースの表現定理・正規直交基底無料内積空間の完備化としての Hilbert 空間を定義し、射影定理とリースの表現定理を証明する。弱収束と有界列の弱収束部分列、正規直交基底とパーセバルの等式、可分空間と ℓ² のユニタリ同値まで扱う。
2. 第 2 章Banach 空間の基本定理：Hahn–Banach・一様有界性・開写像・閉グラフ無料ノルム空間・有界作用素・双対空間を定義し、Hahn–Banach の拡張定理と、Baire のカテゴリー定理から導く一様有界性原理・開写像定理・閉グラフ定理を証明する。弱位相と Banach–Alaoglu の定理、完備性を外した反例も扱う。
3. 第 3 章有界作用素と共役作用素：ユニタリ・射影・部分等長と作用素の位相無料Hilbert 空間上の有界作用素の共役を定義して ‖A*A‖=‖A‖² を示し、射影・部分等長・極分解、ノルム・強・弱位相の違い、スペクトルの非空性とスペクトル半径公式までを証明つきで積み上げる。
4. 第 4 章コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス無料コンパクト作用素を有限ランク作用素のノルム極限として特徴づけ、Hilbert–Schmidt の定理と Fredholm の択一定理を述べる。さらに積分核による Hilbert–Schmidt 作用素の特徴づけ、トレースクラスとトレース、特異値と Schatten クラスを扱う。
5. 第 5 章非有界作用素：閉作用素・閉包・共役作用素無料定義域を明示した線形作用素のグラフ・拡大・閉性・閉包を定義し、共役作用素について T* の閉性、可閉性と T* の稠密性の同値、T** が閉包に等しいことを証明する。微分作用素と掛け算作用素、Hellinger–Toeplitz の定理、非有界作用素のスペクトルまで扱う。
6. 第 6 章対称作用素と自己共役拡大：不足指数と von Neumann の理論無料対称・自己共役・本質的自己共役の違いを定義と例で整理し、Ran(T±i)=H と Ker(T*±i)=0 による自己共役性の基本判定を証明する。不足指数を導入して von Neumann の拡大定理を証明し、区間と半直線上の -i d/dx に適用する。
7. 第 7 章スペクトル定理と関数計算（非有界自己共役作用素）無料射影値測度とスペクトル積分を定義し、非有界自己共役作用素のスペクトル定理をケーリー変換で示す。関数計算、e^{itA} とレゾルベントの表示、強可換性と結合スペクトル測度、Nelson の反例まで扱う。
8. 第 8 章スペクトルの分類：点・連続・本質スペクトルと Weyl の判定法無料点・連続・剰余スペクトルの分類、スペクトル測度のルベーグ分解による純点・絶対連続・特異連続部分、離散・本質スペクトルと Weyl の判定法、相対コンパクト摂動に関する Weyl の定理、RAGE の定理を扱う。
9. 第 9 章自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理無料相対有界摂動に対する Kato–Rellich の定理、閉二次形式の表現定理と KLMN の定理、Friedrichs 拡大の構成、Nelson の可換子定理と解析ベクトル定理を証明つきで整理し、水素原子やデルタ型ポテンシャルに適用する。
10. 第 10 章1 径数ユニタリ群と強連続半群：Stone・Hille–吉田・Trotter 積公式無料強連続ユニタリ群と自己共役作用素を結ぶ Stone の定理を証明し、縮小半群の Hille–吉田・Lumer–Phillips の定理、Trotter 積公式、正値性改良半群の Perron–Frobenius 型定理を、熱半群と自由 Schrödinger 群の積分核とともに扱う。
11. 第 11 章作用素の収束と摂動：レゾルベント収束・解析摂動・ミニマックス原理無料自己共役作用素列のノルム・強レゾルベント収束と Trotter–Kato の定理、スペクトルの半連続性、Kato の解析摂動論とレイリー–シュレーディンガー級数、ミニマックス原理、Feshbach–Schur 写像を証明つきで整理する。
12. 第 12 章Hilbert 空間のテンソル積と直積分無料Hilbert 空間のテンソル積を代数的テンソル積の完備化として構成して L²(X)⊗L²(Y)≅L²(X×Y) を示し、A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル、直和・直積分と可分解作用素、並進不変系のファイバー分解までを扱う。
13. 第 13 章局所凸空間と弱位相無料半ノルムの族から局所凸空間と Fréchet 空間を定義し、Hahn–Banach の分離定理、弱・弱 * 位相の双対、Banach–Alaoglu の定理、Krein–Milman の定理、Markov–角谷と Schauder–Tychonoff の不動点定理を証明する。
14. 第 14 章ベクトル値解析と関数計算無料Banach 空間値関数の Bochner 積分と微積分、弱正則なら強正則という Dunford の定理を証明し、Riesz–Dunford の正則関数計算、閉作用素の Riesz 射影とスペクトル分解、Helffer–Sjöstrand 公式、閉作用素の極分解を導く。
15. 第 15 章Fredholm 理論無料コンパクト作用素の Riesz–Schauder 理論を Banach 空間で証明し、Fredholm 作用素の指数の積公式と摂動安定性、Atkinson の定理、Krein–Rutman の定理、トレースクラス作用素の Fredholm 行列式と正則化行列式 det₂ を導く。
16. 第 16 章Banach 空間の強連続半群無料Banach 空間の強連続半群について、Hille–吉田と Lumer–Phillips の生成定理、有界摂動の Dyson 展開、Trotter–Kato の近似定理、Chernoff と Trotter の積公式を証明する。
17. 第 17 章作用素不等式と積分作用素無料Löwner–Heinz・Heinz–Kato・Cordes の不等式、積分作用素の Schur テスト、Schatten クラスの Hölder 不等式、Daleckii–Krein 公式、Peierls–Bogoliubov の不等式を証明する。
18. 第 18 章自己共役性の判定 II無料Kato の不等式から非負の L²_loc ポテンシャルをもつ −Δ+V の本質的自己共役性を導き、下からの 2 次の増大を許す Faris–Lavine の定理、Jacobi 行列の Carleman 条件、閉形式の単調収束定理を証明つきで述べる。
19. 第 19 章解析的摂動論 II無料Kato の変換関数で縮退固有値を有限行列に縮約し、Puiseux 展開と Rellich の定理を証明する。Rayleigh–Schrödinger 級数の全次数、Hellmann–Feynman、Kato–Temple の下界、一般化強レゾルベント収束も扱う。
20. 第 20 章周期作用素と Bloch–Floquet 分解無料可分解作用素のスペクトルをファイバーから決める定理を証明し、Bloch–Floquet–Gelfand 変換で周期 Schrödinger 作用素と格子上の作用素をバンドに分解する。Hill 方程式の Floquet 判別式と Mathieu 方程式の特性値も扱う。
21. 第 21 章形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式無料下に有界な自己共役作用素の形式和を定義域が稠密でない場合も含めて定め、形式の下極限と回復列による強レゾルベント収束の判定法、減少列の単調収束定理、形式和に対する Trotter–加藤の積公式、半群の極限からの生成子の構成を証明する。