自己共役性の判定 II：Kato の不等式・Faris–Lavine の定理・Carleman の条件・閉形式の単調収束

0. この記事の要点

量子力学では、エネルギーを表す演算子 $-\Delta+V$ が、ポテンシャル $V$ を決めるだけで「ただ一通りに」定まってほしいところです。ところが $V$ が激しく大きくなったり、負の側へ落ちたりすると、定め方に曖昧さが残ることがあります。この記事は、そうならないための条件を、$V$ が大きな正の関数の場合、$V$ が下へ 2 次で落ちる場合、行列で与えた場合の三つに分けて調べ、最後に障壁を無限に高くする極限の扱い方を学びます。

• Kato の不等式 $\Delta|u|\ge\mathrm{Re}[(\mathrm{sgn}\,\bar u)\Delta u]$ は、絶対値を取ると「凸性」によってラプラシアンが大きくなることを超関数の意味で述べたものです。これと $(-\Delta+1)^{-1}$ の正値性を組み合わせると、不足空間（曖昧さの原因になる、$T^*u=\pm iu$ の解の空間）の元が $0$ しかないことを示せます。
• その帰結として、$V\ge 0$ かつ $V\in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ なら、$-\Delta+V$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で本質的自己共役です（Kato の定理）。$V$ の無限遠での増大にも、$-\Delta$ に対する相対有界性にも条件はいりません。
• Faris–Lavine の定理: 下からの評価 $V(x)\ge -c|x|^2-e$ があれば、負の部分が非有界でも本質的自己共役性が保たれます。証明は、Kato の定理で作った比較作用素 $N$ に Nelson の可換子定理を適用するものです。$-x^4$ のように速く $-\infty$ へ落ちると、古典粒子が有限時間で無限遠に達し、自己共役性も壊れます。
• Carleman の条件: Jacobi 行列の非対角成分 $b_n$ が $\sum 1/b_n=\infty$ を満たせば、有限列の上で本質的自己共役です。$b_n=(n+1)^2$ では不足空間が非自明になる例を、漸化式を解いて具体的に示します。
• 閉形式の単調収束定理: 増大する非負閉形式の列の上限は閉形式で、対応する作用素はレゾルベント（$(H-z)^{-1}$ のこと）の意味で収束します。デルタ型障壁の結合定数を無限大にすると、直線が二つの半直線に切り離される様子がこの定理で記述できます。

この記事で使う事前知識

• 対称・本質的自己共役: 対称作用素のうち、閉包をとると自己共役になるもの。→ 本質的自己共役
• 閉形式: 非負の二次形式 $q$ で、$q[\psi]+\|\psi\|^2$ をノルムとして完備になるもの。→ 自己共役性の判定
• Nelson の可換子定理: 作用素 $A$ を比較作用素 $N$ と見比べ、$A$ の大きさと交換子が $N$ で押さえられれば本質的自己共役、という判定法。→ 自己共役性の判定
• Schwartz 空間と Fourier 変換: 急減少する滑らかな関数の空間と、関数を波の重ね合わせに分ける変換。→ Schwartz 空間、Fourier 変換
• 強レゾルベント収束: レゾルベント $(H_n-z)^{-1}$ が、各ベクトルに作用させた結果として収束すること。→ 強レゾルベント収束
• 弱収束: 任意のベクトル $f$ との内積 $\langle f,\psi_n\rangle$ が $\langle f,\psi\rangle$ に収束すること。→ 弱収束

1. 動機

自己共役性の判定 では、Kato–Rellich の定理と KLMN の定理、Friedrichs 拡大、Nelson の可換子定理を学びました。前の二つは「既知の作用素 $-\Delta$ からの小さなずれ」として扱う方法で、ポテンシャル $V$ が $-\Delta$ に比べて小さいこと（相対限界や形式限界が $1$ 未満）を要求します。ところが物理でよく現れるハミルトニアンには、この要求を満たさないものがたくさんあります。

• 非調和振動子 $-\Delta+|x|^4$ のポテンシャルは無限遠で $-\Delta$ よりずっと大きくなります。平行移動した関数 $\psi(\cdot-a)$ では $\|\Delta\psi\|$ と $\|\psi\|$ が変わらないのに $\||x|^4\psi(\cdot-a)\|$ はいくらでも大きくなるので、$|x|^4$ は $-\Delta$ 有界ではありません。
• 逆さまの調和振動子 $-\Delta-|x|^2$ は下に有界でさえなく、KLMN も Friedrichs 拡大も使えません。
• 格子場の理論や数値計算では、作用素を基底で書いた無限行列（Jacobi 行列など）として与えることがあり、微分作用素の手法がそのままでは使えません。

本記事の道具は、この三つの状況に一つずつ対応します。正のポテンシャルはどれほど大きくても本質的自己共役性を壊さない（Kato の定理）、負のポテンシャルは2 次までの増大なら壊さない（Faris–Lavine の定理）、行列の成分の増大が1 次までなら壊さない（Carleman の条件）、という三つの主張です。最後に、作用素の列を「下から近似する」ための閉形式の単調収束定理を述べます。これはポテンシャルの切り落とし（$\min(V,n)$）を外す極限や、障壁を無限に高くする極限を正当化する道具です。

2. 準備

$\mathcal{H}$ は複素 Hilbert 空間で、内積は第 1 変数について共役線形とします。対称・自己共役・本質的自己共役の定義と基本判定は 命題 2.2［自己共役性の判定］、閉二次形式とその表現定理は 定義 4.1［自己共役性の判定］ と 定理 4.2［自己共役性の判定］ に従います。二次形式 $q$ について $q[\psi]=q(\psi,\psi)$ と略記します。

$L^2(\mathbb{R}^d)$ 上では、$C_c^\infty=C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$、$\Delta$ は超関数の意味の微分、$\mathcal{S}$ は Schwartz 空間とします。Fourier 変換は自己共役性の判定と同じく $\hat\psi(k)=(2\pi)^{-d/2}\int e^{-ik\cdot x}\psi(x)\,dx$ とし、$-\Delta$ は $D(-\Delta)=H^2(\mathbb{R}^d)$ 上の自己共役作用素 $(-\Delta\psi)^\wedge=|k|^2\hat\psi$ です。

まず、下に有界な作用素では本質的自己共役性の判定が一つの核で済むことを確認します。

補題 2.1（非負対称作用素の判定）✓

$T$ を稠密な定義域をもつ対称作用素で $T\ge 0$ とする。$T$ が本質的自己共役であるための必要十分条件は $\mathrm{Ker}(T^*+1)=\{0\}$ である。

証明（補題 2.1）

十分性: 補題 4.2［対称作用素と自己共役拡大］ より $\mathrm{Ran}(T+1)^\perp=\mathrm{Ker}(T^*+1)=\{0\}$ なので、$\mathrm{Ran}(T+1)$ は稠密である。閉包 $\bar T$ も対称で、$\langle\psi,\bar T\psi\rangle\ge 0$ は $T$ のグラフの極限を取って保たれる。よって $\psi\in D(\bar T)$ について $\|(\bar T+1)\psi\|\|\psi\|\ge\langle\psi,(\bar T+1)\psi\rangle\ge\|\psi\|^2$、すなわち $\|(\bar T+1)\psi\|\ge\|\psi\|$ である。$\bar T$ は閉なので、この下からの評価により $\mathrm{Ran}(\bar T+1)$ は閉集合であり、稠密な $\mathrm{Ran}(T+1)$ を含むから $\mathcal{H}$ に一致する。命題 2.2［自己共役性の判定］ (1) を実数 $z=-1$ で $\bar T$ に適用すれば、$\bar T$ は自己共役である。

必要性: $\bar T$ が自己共役なら $T^*=\bar T^*=\bar T\ge 0$ なので、$T^*\varphi=-\varphi$ から $-\|\varphi\|^2=\langle\varphi,T^*\varphi\rangle\ge 0$、すなわち $\varphi=0$。

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次に、$C_c^\infty$ 上の Schrödinger 作用素の共役を具体的に書きます。$V\in L^2_{\mathrm{loc}}$ と $u\in L^2$ に対し、各コンパクト集合 $K$ 上で Cauchy–Schwarz の不等式から $\int_K|Vu|\le\|V\|_{L^2(K)}\|u\|$ なので $Vu\in L^1_{\mathrm{loc}}$ です。したがって $-\Delta u+Vu$ は超関数として意味をもちます。

補題 2.2（最小作用素の共役は最大作用素）✓

$V$ を実数値の $L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ 関数とし、$T=-\Delta+V$、$D(T)=C_c^\infty$ とする。$T$ は対称で、

$$D(T^*)=\{u\in L^2:\ -\Delta u+Vu\in L^2\ (\text{超関数の意味で})\},\qquad T^*u=-\Delta u+Vu$$

である。

証明（補題 2.2）

$\varphi\in C_c^\infty$ なら $V\varphi\in L^2$ なので $T$ は $L^2$ に値をとり、部分積分と $V$ が実数値であることから対称である。$u\in L^2$、$w\in L^2$ について、条件「すべての $\varphi\in C_c^\infty$ で $\langle T\varphi,u\rangle=\langle\varphi,w\rangle$」は

$$\int u\,\bigl(-\Delta\bar\varphi+V\bar\varphi\bigr)\,dx=\int w\,\bar\varphi\,dx$$

と書ける。$\bar\varphi$ も $C_c^\infty$ 全体を動くので、これは超関数の等式 $-\Delta u+Vu=w$ にほかならない。共役作用素の定義から主張が従う。

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次の補題は、最後に「不足空間の元は $0$」と結論するための道具です。ねらいは、$(-\Delta+1)w\le 0$ の形の不等式から $w\le 0$ を導くこと、つまり $(-\Delta+1)^{-1}$ が非負の関数を非負の関数に送ることの確認です。証明では、$(-\Delta+1)^{-1}$ を時間 $t$ についての積分で書き、熱が広がる過程（Gauss 核）の重ね合わせとして見ることで、この正値性を示します。

補題 2.3（(−Δ+1)⁻¹ の正値性と超関数不等式）✓

$w\in L^2(\mathbb{R}^d)$ は実数値で、すべての $0\le\varphi\in C_c^\infty$ について $\int w\,(-\Delta+1)\varphi\,dx\le 0$ を満たすとする。このとき a.e. で $w\le 0$ である。

証明（補題 2.3）

段階 1（試験関数を $\mathcal{S}$ に広げる）。 $0\le\chi\le 1$、$|x|\le 1$ で $\chi=1$ となる $\chi\in C_c^\infty$ を取り、$0\le\varphi\in\mathcal{S}$ に対して $\varphi_n(x)=\chi(x/n)\varphi(x)$ とおく。$\varphi_n\ge 0$、$\varphi_n\in C_c^\infty$ で、

$$(-\Delta+1)\varphi_n=\chi(\cdot/n)(-\Delta+1)\varphi-\frac{2}{n}(\nabla\chi)(\cdot/n)\cdot\nabla\varphi-\frac{1}{n^2}(\Delta\chi)(\cdot/n)\varphi$$

である。第 1 項は優収束定理で $L^2$ において $(-\Delta+1)\varphi$ に収束し、残りの項は $L^2$ ノルムが $O(1/n)$ である。$w\in L^2$ なので $\int w(-\Delta+1)\varphi_n\to\int w(-\Delta+1)\varphi$ となり、仮定の不等式は $0\le\varphi\in\mathcal{S}$ に対しても成り立つ。

段階 2（レゾルベントの正値性）。 $0\le g\in C_c^\infty$ に対し $\hat\varphi=(1+|k|^2)^{-1}\hat g$ で $\varphi$ を定める。$(1+|k|^2)^{-1}$ は滑らかでどの導関数も有界なので、Leibniz の規則から $\hat\varphi\in\mathcal{S}$、したがって $\varphi\in\mathcal{S}$ で（定理 4.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）、$(-\Delta+1)\varphi=g$ である。$(1+|k|^2)^{-1}=\int_0^\infty e^{-t(1+|k|^2)}dt$ を反転公式に代入し、$\hat g\in L^1$ なので Fubini の定理で積分順序を入れ替えると

$$\varphi(x)=\int_0^\infty e^{-t}\Bigl((2\pi)^{-d/2}\int e^{ik\cdot x}e^{-t|k|^2}\hat g(k)\,dk\Bigr)dt=\int_0^\infty e^{-t}\,(p_t*g)(x)\,dt$$

となる。ここで $p_t$ は Gauss 核で、内側の積分が $(p_t*g)(x)$ に等しいことは、$\hat g$ の定義を代入して Fubini の定理で $k$ の積分を先に行い、命題 5.1［1 径数ユニタリ群と強連続半群］ の 1 を使えばわかる（これは $e^{t\Delta}g$ に等しい。同命題の 2）。$p_t>0$、$g\ge 0$ なので $\varphi\ge 0$。

段階 3。 段階 1・2 から、すべての $0\le g\in C_c^\infty$ について $\int wg=\int w(-\Delta+1)\varphi\le 0$。$R>0$ に対し $h=1_{\{w>0\}}1_{\{|x|<R\}}\in L^2$ を軟化した関数 $h_\varepsilon$ は非負の $C_c^\infty$ 関数で、$\varepsilon\to 0$ で $L^2$ において $h$ に収束する（補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）。よって $\int_{|x|<R}w_+=\int wh=\lim\int wh_\varepsilon\le 0$ で、$R$ は任意だから $w_+=0$ a.e.

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3. Kato の不等式

$u$ が滑らかで零点をもたなければ、$|u|=(\bar uu)^{1/2}$ を 2 回微分して $\Delta|u|=\mathrm{Re}[(\bar u/|u|)\Delta u]+(|\nabla u|^2-|\nabla|u||^2)/|u|$ が得られ、最後の項は $|\nabla|u||\le|\nabla u|$ により非負です。Kato の不等式は、この計算を零点や特異性のある関数にまで超関数の意味で広げたものです。

定理 3.1（Kato の不等式）✓

$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ で、超関数の意味の $\Delta u$ も $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ に属するとする。$u(x)\ne 0$ のとき $\mathrm{sgn}\,u(x)=u(x)/|u(x)|$、$u(x)=0$ のとき $\mathrm{sgn}\,u(x)=0$ とおく。このとき超関数の意味で

$$\Delta|u|\ \ge\ \mathrm{Re}\bigl[(\mathrm{sgn}\,\bar u)\,\Delta u\bigr]$$

が成り立つ。すなわち、すべての $0\le\varphi\in C_c^\infty$ について $\int|u|\,\Delta\varphi\,dx\ge\int\varphi\,\mathrm{Re}[(\mathrm{sgn}\,\bar u)\Delta u]\,dx$ である。

証明の方針は、零点で $|u|$ が微分できない問題を、$u_\varepsilon=(|u|^2+\varepsilon^2)^{1/2}$ で角を丸めて避けることです。$u_\varepsilon$ は常に $\varepsilon$ 以上なので、割り算ができます。まず滑らかな $u$ で $u_\varepsilon$ について不等式を示し、次に軟化子（関数を滑らかな関数で近似する操作）で一般の $u$ へ、最後に $\varepsilon\to 0$ へと進みます。

証明（定理 3.1）

$\varepsilon>0$ に対して $u_\varepsilon=(|u|^2+\varepsilon^2)^{1/2}$ とおく。写像 $z\mapsto(|z|^2+\varepsilon^2)^{1/2}$ は $\mathbb{C}$ 上で 1-Lipschitz なので $|u_\varepsilon-v_\varepsilon|\le|u-v|$、また $0\le u_\varepsilon-|u|\le\varepsilon$ である。

滑らかな場合。 $u\in C^\infty$ とする。$u_\varepsilon^2=|u|^2+\varepsilon^2$ を微分すると $u_\varepsilon\nabla u_\varepsilon=\mathrm{Re}(\bar u\nabla u)$ で、特に $|\nabla u_\varepsilon|\le|u||\nabla u|/u_\varepsilon\le|\nabla u|$。この等式の発散を取ると

$$|\nabla u_\varepsilon|^2+u_\varepsilon\Delta u_\varepsilon=|\nabla u|^2+\mathrm{Re}(\bar u\Delta u)$$

なので $u_\varepsilon\Delta u_\varepsilon\ge\mathrm{Re}(\bar u\Delta u)$。$u_\varepsilon\ge\varepsilon>0$ で割り、$0\le\varphi\in C_c^\infty$ を掛けて部分積分すれば

$$\int u_\varepsilon\Delta\varphi\ \ge\ \int\varphi\,\mathrm{Re}\Bigl[\frac{\bar u}{u_\varepsilon}\Delta u\Bigr].$$

一般の場合。 軟化子 $\rho_\delta$ で $u_{(\delta)}=\rho_\delta*u\in C^\infty$ とする。$\Delta u_{(\delta)}=\rho_\delta*\Delta u$ であり、$\delta\to 0$ で $u_{(\delta)}\to u$、$\Delta u_{(\delta)}\to\Delta u$ が $L^1_{\mathrm{loc}}$ で成り立つ（補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ をコンパクト集合上で使う）。部分列を取って a.e. 収束も仮定してよい。$\varphi$ の台を $K$ とし、滑らかな場合の不等式を $u_{(\delta)}$ に適用する。左辺は $|(u_{(\delta)})_\varepsilon-u_\varepsilon|\le|u_{(\delta)}-u|$ から $\int u_\varepsilon\Delta\varphi$ に収束する。右辺は $f_\delta=\bar u_{(\delta)}/(u_{(\delta)})_\varepsilon$、$g_\delta=\Delta u_{(\delta)}$、$f=\bar u/u_\varepsilon$、$g=\Delta u$ と書くと、$|f_\delta|\le 1$ と

$$|f_\delta g_\delta-fg|\le|g_\delta-g|+|f_\delta-f||g|$$

により、第 1 項は $L^1(K)$ 収束、第 2 項は a.e. で $0$ に収束し $2|g|$ で押さえられるので優収束定理が使える。よって $\int u_\varepsilon\Delta\varphi\ge\int\varphi\,\mathrm{Re}[(\bar u/u_\varepsilon)\Delta u]$。最後に $\varepsilon\to 0$ とすると、$u_\varepsilon\to|u|$ は一様、$\bar u/u_\varepsilon\to\mathrm{sgn}\,\bar u$ は各点（$u(x)=0$ では両辺 $0$）で絶対値は $1$ 以下なので、再び優収束定理により主張を得る。

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不等式の向きは、$|\cdot|$ が凸関数であることから来ます。1 次元の $u(x)=x$ では $|u|''=2\delta_0$ ですが、右辺は $\mathrm{sgn}(x)\cdot 0=0$ です。零点で折れ曲がる分だけ、左辺には正の測度が加わります。同じ不等式は、磁場を含む作用素の反磁性不等式にも使われます（シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態）。

4. 非負の L²_loc ポテンシャル：Kato の定理

定理 4.1（Kato の定理（非負の局所 L² ポテンシャル））✓

$V\in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ を実数値で $V\ge 0$ とする。このとき $-\Delta+V$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で本質的自己共役である。

証明（定理 4.1）

$T=-\Delta+V$、$D(T)=C_c^\infty$ とおく。$\varphi\in C_c^\infty$ について部分積分から $\langle\varphi,T\varphi\rangle=\|\nabla\varphi\|^2+\int V|\varphi|^2\ge 0$ なので、補題 2.1 により $\mathrm{Ker}(T^*+1)=\{0\}$ を示せばよい。

$u\in L^2$ が $T^*u=-u$ を満たすとする。補題 2.2 から超関数の意味で $\Delta u=(V+1)u$ であり、$V\in L^2_{\mathrm{loc}}$、$u\in L^2$ から右辺は $L^1_{\mathrm{loc}}$ に属する。したがって 定理 3.1 が使えて

$$\Delta|u|\ \ge\ \mathrm{Re}\bigl[(\mathrm{sgn}\,\bar u)(V+1)u\bigr]=(V+1)|u|\ \ge\ |u|.$$

ここで $(\mathrm{sgn}\,\bar u)u=|u|$ と $V\ge 0$ を使った。これは、すべての $0\le\varphi\in C_c^\infty$ について $\int|u|(-\Delta+1)\varphi\le 0$ を意味する。$|u|\in L^2$ は実数値なので、補題 2.3 から $|u|\le 0$、すなわち $u=0$ である。

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証明で $V\ge 0$ を使ったのは、$(V+1)|u|\ge|u|$ の一か所だけです。符号の条件を外すと、まさにここが壊れます。また $V\in L^2_{\mathrm{loc}}$ は、$C_c^\infty$ の関数に $V$ を掛けたものが $L^2$ に入るため、つまり作用素 $T$ が $C_c^\infty$ 上で定義できるために必要な条件で、証明ではそれ以上の正則性を一切使っていません。

系 4.2（有界な負の部分）✓

$V=V_1+V_2$、$V_1\in L^2_{\mathrm{loc}}$、$V_1\ge 0$、$V_2\in L^\infty$（実数値）ならば、$-\Delta+V$ は $C_c^\infty$ 上で本質的自己共役である。

証明（系 4.2）

定理 4.1 から $T_1=-\Delta+V_1$ の閉包 $\bar T_1$ は自己共役である。$V_2$ は有界な対称作用素なので、$T_1+V_2$ の閉包は $\bar T_1+V_2$ に等しく（グラフノルムが同値）、有界な対称作用素を加えても自己共役性は保たれる（$(\bar T_1+V_2)^*=\bar T_1^*+V_2$）。

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例 4.3（非調和振動子と原点の特異性）

(1) $V(x)=|x|^4$ は $L^2_{\mathrm{loc}}$ に入る非負関数なので、$-\Delta+|x|^4$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で本質的自己共役である。§1 で見たとおり $|x|^4$ は $-\Delta$ 有界でないので、Kato–Rellich の定理（定理 3.2［自己共役性の判定］）では扱えない。$e^{|x|}$ のような増大でも同じである。

(2) $V(x)=c|x|^{-\alpha}$（$c>0$）は $\int_{|x|<1}|x|^{-2\alpha}dx<\infty$、すなわち $\alpha<d/2$ のとき $L^2_{\mathrm{loc}}$ に入る。したがって $d\ge 5$ なら斥力の逆 2 乗ポテンシャル $-\Delta+c|x|^{-2}$ は、結合定数 $c>0$ の大きさによらず $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で本質的自己共役である。$d=3$ では $|x|^{-2}\notin L^2_{\mathrm{loc}}$ で、$C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$ の関数に掛けると $L^2$ を外れるので、作用素はそもそも $C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$ 上で定義できない。

注意 4.4

定理 4.1 の閉包は、形式 $\|\nabla\psi\|^2+\int V|\psi|^2$ に対応する自己共役作用素（形式和）と一致する。本質的自己共役な作用素の自己共役拡大は閉包ただ一つで、形式和に対応する作用素が $T$ の拡大であることは 例 7.5 で確かめる。Kato の原論文（1972 年）は、$V=V_1+V_2$ で $V_1\ge 0$ が $L^2_{\mathrm{loc}}$、$V_2$ が $-\Delta$ に関して相対限界 $1$ 未満の場合まで扱っている（Reed–Simon II 第 X 章）。

5. 下に非有界なポテンシャル：Faris–Lavine の定理

負のポテンシャルが無限遠で $-\infty$ に落ちる場合、Kato の定理の証明はそのままでは使えません。そこで、Kato の定理で作れる「十分に大きな」比較作用素 $N$ を物差しにして、Nelson の可換子定理（定理 7.1［自己共役性の判定］）を適用します。

定理 5.1（Faris–Lavine の定理）✓

$V\in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ を実数値とし、定数 $c,e\ge 0$ があって a.e. で

$$V(x)\ \ge\ -c|x|^2-e$$

が成り立つとする。このとき $-\Delta+V$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で本質的自己共役である。

証明の筋は次のとおりです。$A=-\Delta+V$ の自己共役性を直接示す代わりに、Kato の定理で自己共役と分かる大きな作用素 $N$ を作り、$A$ をその物差しで測ります。Nelson の可換子定理が要求するのは二つの評価だけで、(i) $A$ の大きさが $N$ で押さえられること、(ii) $A$ と $N$ の交換子が $N$ の「半分の次数」で押さえられること、です。以下の計算は長いですが、この二つを確かめているだけです。

証明（定理 5.1）

仮定は $c$ を大きくしても成り立つので、$c>0$ としてよい。$A=-\Delta+V$、$D(A)=C_c^\infty$ とおく。$A$ は 補題 2.2 により対称である。

比較作用素。 $E=e+1$、$W=V+c|x|^2+E$ とおくと $W\ge 1$ で $W\in L^2_{\mathrm{loc}}$ である。$C_c^\infty$ 上の作用素

$$N_0=-\Delta+c|x|^2+W=A+2c|x|^2+E$$

のポテンシャル $c|x|^2+W$ は $1$ 以上の $L^2_{\mathrm{loc}}$ 関数なので、系 4.2（$V_1=c|x|^2+W-1$、$V_2=1$）から $N_0$ は本質的自己共役である。$N=\bar N_0$ とおくと、$N_0\ge 1$ から $N\ge 1$ で、$C_c^\infty$ は $N$ の芯である。$\psi\in C_c^\infty$ について $\|N^{1/2}\psi\|^2=\langle\psi,N\psi\rangle$ である。

以下 $\psi\in C_c^\infty$ とし、二つの計算を準備する。部分積分により

$$\langle-\Delta\psi,|x|^2\psi\rangle=\sum_{j=1}^d\int\partial_j\bar\psi\,\partial_j\bigl(|x|^2\psi\bigr)\,dx=\int|x|^2|\nabla\psi|^2dx+2\int\psi\,(x\cdot\nabla\bar\psi)\,dx .$$

最後の項の実部は $\int x\cdot\nabla|\psi|^2dx=-d\|\psi\|^2$ なので、

$$\mathrm{Re}\langle-\Delta\psi,|x|^2\psi\rangle\ge -d\|\psi\|^2,\qquad \bigl|\mathrm{Im}\langle-\Delta\psi,|x|^2\psi\rangle\bigr|\le 2\||x|\psi\|\|\nabla\psi\|.$$

条件 (i)。 $N_0=(-\Delta+W)+c|x|^2$ と分けて展開すると、$\mathrm{Re}\langle W\psi,|x|^2\psi\rangle=\int W|x|^2|\psi|^2\ge 0$ と上の評価から

$$\|N\psi\|^2\ge c^2\||x|^2\psi\|^2+2c\,\mathrm{Re}\langle(-\Delta+W)\psi,|x|^2\psi\rangle\ge c^2\||x|^2\psi\|^2-2cd\|\psi\|^2 .$$

$N\ge 1$ から $\|\psi\|^2\le\langle\psi,N\psi\rangle\le\|\psi\|\|N\psi\|$、すなわち $\|\psi\|\le\|N\psi\|$ なので、$c\||x|^2\psi\|\le(1+2cd)^{1/2}\|N\psi\|$。よって

$$\|A\psi\|\le\|N\psi\|+2c\||x|^2\psi\|+E\|\psi\|\le\bigl(1+2(1+2cd)^{1/2}+E\bigr)\|N\psi\| .$$

条件 (ii)。 $N_0=A+2c|x|^2+E$ と $A$ の対称性から

$$\langle A\psi,N\psi\rangle-\langle N\psi,A\psi\rangle=2c\bigl(\langle A\psi,|x|^2\psi\rangle-\overline{\langle A\psi,|x|^2\psi\rangle}\bigr)=4ic\,\mathrm{Im}\langle A\psi,|x|^2\psi\rangle .$$

$\langle V\psi,|x|^2\psi\rangle=\int V|x|^2|\psi|^2$ は実数なので、虚部には $-\Delta$ の項だけが残り、

$$\bigl|\langle A\psi,N\psi\rangle-\langle N\psi,A\psi\rangle\bigr|\le 8c\||x|\psi\|\|\nabla\psi\|\le 4c\bigl(\||x|\psi\|^2+\|\nabla\psi\|^2\bigr).$$

一方 $\langle\psi,N\psi\rangle=\|\nabla\psi\|^2+c\||x|\psi\|^2+\int W|\psi|^2\ge\min\{1,c\}\bigl(\|\nabla\psi\|^2+\||x|\psi\|^2\bigr)$ なので、右辺は $4\max\{c,1\}\|N^{1/2}\psi\|^2$ 以下である。

(i)(ii) が芯 $C_c^\infty$ 上で成り立つので、定理 7.1［自己共役性の判定］ から $A$ は $C_c^\infty$ 上で本質的自己共役である。

∎

証明の要は条件 (ii) で、交換子 $[A,|x|^2]$ が 1 階の微分作用素 $-2(x\cdot\nabla+\nabla\cdot x)$ になり、$N$ の「半分の次数」で押さえられることにあります。ポテンシャルが $|x|^2$ より速く落ちると、比較作用素に必要な $|x|^{2+\epsilon}$ との交換子が $N^{1/2}$ では押さえられなくなります。

例 5.2（逆さまの調和振動子）

$-\Delta-\omega^2|x|^2$（$\omega>0$）は 定理 5.1（$c=\omega^2$、$e=0$）により $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で本質的自己共役である。この作用素は下に有界でない（$\psi_a=\psi(\cdot-a)$ について $\langle\psi_a,-\Delta\psi_a\rangle$ は一定で $\omega^2\||x|\psi_a\|^2\to\infty$）ので、KLMN の定理や Friedrichs 拡大は使えない。同様に、Stark 効果のハミルトニアン $-\Delta+Fx_1$（一様電場）や、二重井戸 $-d^2/dx^2+x^4-gx^2$（$g>0$）も本質的自己共役である。

古典粒子が無限遠に達する時間。エネルギー E の粒子が x₀ から出発して無限遠に達するまでの時間は ∫ dx / √(2(E − V(x))) である。V = −x² では被積分関数が 1/x 程度で積分が発散する（到達に無限の時間がかかる）が、V = −x⁴ では 1/x² 程度で収束し、有限時間で無限遠に達する。後者では波動関数が無限遠から「流れ込む」余地が生じ、自己共役性が失われる。

注意 5.3（2 次の増大は最良）

1 次元の $-d^2/dx^2-x^4$ は $C_c^\infty(\mathbb{R})$ 上で本質的自己共役でない（不足指数は $(2,2)$）。$-u''-x^4u=\pm iu$ の解は WKB 近似で $|u(x)|\sim|x|^{-1}$ 程度に減衰し、両側の無限遠で解がすべて二乗可積分になる（Weyl の極限円型）からである。これは上図の古典力学の事情と対応しており、一般に「古典的な運動が完全（有限時間で無限遠に達しない）」ことと本質的自己共役性の関係は、Weyl の極限点・極限円の理論とあわせて Reed–Simon II 第 X 章（§X.1 の付録）で論じられている。証明は区間上の運動量作用素の不足指数の計算（対称作用素と自己共役拡大）と同じ型の議論を、漸近解析と組み合わせて行う。

6. Jacobi 行列と Carleman の条件

$\ell^2=\ell^2(\mathbb{Z}_{\ge 0})$ の標準基底を $e_0,e_1,\dots$ とし、有限個の成分を除いて $0$ である列の全体を $\ell_0$ と書きます（$\ell^2$ で稠密）。

定義 6.1（Jacobi 行列）↗

実数列 $(a_n)_{n\ge 0}$ と正の数列 $(b_n)_{n\ge 0}$ に対し、複素数列 $u=(u_n)_{n\ge 0}$ に作用する差分作用素

$$(Ju)_n=b_{n-1}u_{n-1}+a_nu_n+b_nu_{n+1}\qquad(n\ge 0,\ \text{ただし}\ b_{-1}u_{-1}=0)$$

を Jacobi 行列という。$J_0=J|_{\ell_0}$ を $\ell_0$ 上の作用素とし、$J_{\max}$ を $D(J_{\max})=\{u\in\ell^2: Ju\in\ell^2\}$ 上の $J$ とする。

$J$ は対角成分 $a_n$、上下の副対角成分 $b_n$ の三重対角行列です（下図）。Hermite 関数の基底で書いた位置作用素や、直交多項式の三項漸化式（直交多項式）がこの形をしています。

Jacobi 行列の形。対角成分が a_n、その上下の隣が b_n で、それ以外の成分は 0。第 n 行は (Ju)_n = b_{n-1}u_{n-1} + a_n u_n + b_n u_{n+1} に対応する。

補題 6.2（Jacobi 行列の共役と Green の公式）✓

1. $J_0$ は対称で、$J_0^*=J_{\max}$ である。
2. 任意の数列 $u,v$ と $N\ge 0$ について

$$\sum_{n=0}^{N}\Bigl(\bar v_n(Ju)_n-\overline{(Jv)_n}\,u_n\Bigr)=b_N\bigl(\bar v_Nu_{N+1}-\bar v_{N+1}u_N\bigr).$$

証明（補題 6.2）

(1) $u\in\ell^2$ について、$a_n,b_n$ が実数なので $\langle J_0e_n,u\rangle=\langle b_{n-1}e_{n-1}+a_ne_n+b_ne_{n+1},u\rangle=(Ju)_n$。$u\in D(J_0^*)$ なら $(J_0^*u)_n=\langle e_n,J_0^*u\rangle=\langle J_0e_n,u\rangle=(Ju)_n$ なので $Ju\in\ell^2$、$J_0^*u=Ju$。逆に $Ju\in\ell^2$ なら、$v\in\ell_0$ に対し $\langle J_0v,u\rangle=\sum_n\bar v_n(Ju)_n=\langle v,Ju\rangle$（有限和の並べ替え）なので $u\in D(J_0^*)$。対称性は $J_0\subset J_{\max}=J_0^*$ からわかる。

(2) $W_n=b_n(\bar v_nu_{n+1}-\bar v_{n+1}u_n)$、$W_{-1}=0$ とおく。$a_n$ の項は打ち消し合い、

$$\bar v_n(Ju)_n-\overline{(Jv)_n}u_n=b_n\bar v_nu_{n+1}+b_{n-1}\bar v_nu_{n-1}-b_{n-1}\bar v_{n-1}u_n-b_n\bar v_{n+1}u_n=W_n-W_{n-1}$$

なので、和は $W_N$ に等しい。

∎

定理 6.3（Carleman の条件）✓

$\sum_{n=0}^\infty 1/b_n=\infty$ ならば、$J_0$ は本質的自己共役である。対角成分 $(a_n)$ には何の条件もいらない。

証明のねらいは、不足空間の元 $u$（$Ju=iu$ を満たす $\ell^2$ の列）に Green の公式を適用して、$\sum_{n\le N}|u_n|^2$ を端の項 $b_N\,\mathrm{Im}(\bar u_Nu_{N+1})$ で表すことです。$u\ne 0$ なら $1/b_N$ が $|u_N|^2+|u_{N+1}|^2$ の定数倍以下になり、$\sum 1/b_N$ が有限になってしまうので、条件 $\sum 1/b_n=\infty$ と矛盾します。

証明（定理 6.3）

命題 2.2［自己共役性の判定］ (3) により、$J_0^*u=\pm iu$ となる $u\in\ell^2$ が $0$ に限ることを示せばよい。$J_0^*u=iu$ とする（$-i$ も同様）。補題 6.2 (1) から $Ju=iu$ なので、(2) で $v=u$ とすると左辺は $2i\sum_{n\le N}|u_n|^2$、右辺は $b_N(\bar u_Nu_{N+1}-\overline{\bar u_Nu_{N+1}})=2ib_N\,\mathrm{Im}(\bar u_Nu_{N+1})$ である。よって

$$\sum_{n=0}^{N}|u_n|^2=b_N\,\mathrm{Im}(\bar u_Nu_{N+1})\le b_N|u_N||u_{N+1}| .$$

$u\ne 0$ と仮定すると、ある $N_0$ で $s=\sum_{n\le N_0}|u_n|^2>0$ となり、$N\ge N_0$ では

$$\frac{1}{b_N}\le\frac{|u_N||u_{N+1}|}{s}\le\frac{|u_N|^2+|u_{N+1}|^2}{2s}.$$

右辺は $u\in\ell^2$ なので $N$ について和が有限であり、$\sum 1/b_N=\infty$ に矛盾する。

∎

不足空間の元 $u$ は「境界 $N\to\infty$ から確率が流れ込む」解で、その流量が $b_N\,\mathrm{Im}(\bar u_Nu_{N+1})$ です。$b_N$ が大きくないと、$\ell^2$ の解では流量を一定以上に保てない、というのが証明の内容です。

例 6.4（Hermite 基底での位置作用素）

Hermite 関数 $h_n$ について $xh_n=\sqrt{(n+1)/2}\,h_{n+1}+\sqrt{n/2}\,h_{n-1}$ なので、位置作用素は $a_n=0$、$b_n=\sqrt{(n+1)/2}$ の Jacobi 行列である。$\sum 1/b_n=\infty$ なので 定理 6.3 から $\mathrm{span}\{h_n\}$ 上で本質的自己共役である。これは自己共役性の判定の解析ベクトルによる議論（例 7.7［自己共役性の判定］）の別証明になっている。$a_n$ に条件がいらないので、$x+\lambda N$（$N$ は数作用素）のような作用素も同じく扱える。

例 6.5（Carleman の条件を外すと壊れる例）

$a_n=0$、$b_n=(n+1)^2$ とする（$\sum 1/b_n<\infty$）。$J_0$ は本質的自己共役でないことを示す。

漸化式 $(Ju)_n=0$（$n\ge 1$）は $u_{n+1}=-(b_{n-1}/b_n)u_{n-1}$ で、偶数番目と奇数番目が分離する。$P_m=\prod_{j=1}^m\frac{2j-1}{2j}$、$Q_m=\prod_{j=1}^m\frac{2j}{2j+1}$ とおき、

$$u_{2m}=(-1)^mP_m^2,\ u_{2m+1}=0;\qquad v_{2m}=0,\ v_{2m+1}=(-1)^mQ_m^2$$

と定める（$m\ge 0$、空の積は $1$）。$b_{2j-2}/b_{2j-1}=((2j-1)/(2j))^2$、$b_{2j-1}/b_{2j}=(2j/(2j+1))^2$ なので、どちらも $n\ge 1$ で漸化式を満たし、$(Ju)_0=b_0u_1=0$、$(Jv)_0=b_0v_1=1$ である。すなわち $Ju=0$、$Jv=e_0$。

$\frac{2j-1}{2j}\le\frac{2j}{2j+1}$ から $P_m^2\le P_mQ_m=\prod_{j=1}^m\frac{2j-1}{2j+1}=\frac{1}{2m+1}$、同様に $\frac{2j}{2j+1}\le\frac{2j+1}{2j+2}$ から $Q_m^2\le\prod_{j=1}^m\frac{2j}{2j+2}=\frac{1}{m+1}$。よって $|u_{2m}|\le 1/(2m+1)$、$|v_{2m+1}|\le 1/(m+1)$ で、$u,v\in\ell^2$、したがって $u,v\in D(J_{\max})$ である。ところが

$$\langle J_{\max}v,u\rangle-\langle v,J_{\max}u\rangle=\langle e_0,u\rangle-0=u_0=1\ne 0$$

なので $J_{\max}=J_0^*$ は対称でない。$J_0$ が本質的自己共役なら $J_0^*=\bar J_0$ は自己共役（特に対称）のはずなので、$J_0$ は本質的自己共役でない。

注意 6.6（モーメント問題と準解析ベクトル）

Carleman の条件は、もともと Hamburger のモーメント問題（数列 $m_k$ を $m_k=\int x^k\,d\mu$ と表す確率測度 $\mu$ の一意性）の判定条件 $\sum_k m_{2k}^{-1/(2k)}=\infty$ として現れた。$\mu$ の直交多項式の Jacobi 行列が本質的自己共役であることと、$\mu$ が一意に決まることが同値で、定理 6.3 はその十分条件を与える。作用素版としては、対称作用素 $A$ について $\sum_n\|A^n\psi\|^{-1/n}=\infty$ を満たすベクトル（準解析ベクトル）が全体集合をなせば $A$ は本質的自己共役である、という Nussbaum の定理があり、Nelson の解析ベクトル定理（定理 7.5［自己共役性の判定］）を含む。証明は Schmüdgen の教科書第 7 章にある。

7. 閉形式の単調収束定理

ポテンシャルを $\min(V,n)$ で切り落としてから $n\to\infty$ とする、障壁の高さを無限大にする、といった極限では、作用素の列が「単調に増える」ことが分かっていても、定義域が $n$ とともに変わるので作用素どうしを直接比べられません。二次形式で比べるのが自然です。この節では、形式の定義域が稠密でない場合も扱います（閉性の定義 定義 4.1［自己共役性の判定］ は稠密性を使わずに意味をもちます）。非負の形式 $q$ は $Q(q)$ の外で $q[\psi]=+\infty$ とおいて、$\mathcal{H}$ 上の $[0,\infty]$ 値関数とみなします。

補題 7.1（閉形式と下半連続性）✓

$q$ を部分空間 $Q(q)\subset\mathcal{H}$ 上の非負対称形式とする。$q$ が閉であるための必要十分条件は、$\psi\mapsto q[\psi]$ が $\mathcal{H}$ 上で下半連続であること、すなわち $\psi_n\to\psi$ ならば $q[\psi]\le\liminf_n q[\psi_n]$ となることである。

証明（補題 7.1）

$\|\psi\|_{+1}^2=q[\psi]+\|\psi\|^2$ とする。

必要性: $\psi_n\to\psi$、$L=\liminf q[\psi_n]<\infty$ とし（$L=\infty$ なら示すことはない）、部分列に移って $q[\psi_n]\to L$ としてよい。$(\psi_n)$ は Hilbert 空間 $\mathcal{H}_{+1}=(Q(q),\|\cdot\|_{+1})$ の有界列なので、系 5.6［Hilbert 空間の基礎］ により、さらに部分列が $\mathcal{H}_{+1}$ で $\varphi$ に弱収束する。$f\in\mathcal{H}$ に対し $\psi\mapsto\langle f,\psi\rangle$ は $\mathcal{H}_{+1}$ 上の有界線形汎関数なので $\langle f,\psi_n\rangle\to\langle f,\varphi\rangle$、他方 $\langle f,\psi_n\rangle\to\langle f,\psi\rangle$ だから $\varphi=\psi\in Q(q)$。ノルムの弱下半連続性（命題 5.3［Hilbert 空間の基礎］）から $q[\psi]+\|\psi\|^2\le\liminf(q[\psi_n]+\|\psi_n\|^2)=L+\|\psi\|^2$。

十分性: $(\psi_n)$ が $\|\cdot\|_{+1}$ で Cauchy 列なら $\mathcal{H}$ でも Cauchy 列で、極限 $\psi$ をもつ。$m$ を固定すると $\psi_n-\psi_m\to\psi-\psi_m$ なので、下半連続性から $q[\psi-\psi_m]\le\liminf_n q[\psi_n-\psi_m]\le\sup_{n\ge m}\|\psi_n-\psi_m\|_{+1}^2$。右辺は $m\to\infty$ で $0$ に収束するので、$\psi\in Q(q)$ かつ $\|\psi-\psi_m\|_{+1}\to 0$。

∎

補題 7.2（レゾルベントの変分表示）✓

$q$ を稠密な定義域をもつ非負閉形式、$H$ を対応する自己共役作用素とする（定理 4.2［自己共役性の判定］）。$f\in\mathcal{H}$ について

$$\langle f,(H+1)^{-1}f\rangle=\sup_{\psi\in Q(q)}\Bigl(2\,\mathrm{Re}\langle f,\psi\rangle-q[\psi]-\|\psi\|^2\Bigr)$$

で、上限は $\psi=(H+1)^{-1}f$ で達成される。特に、非負閉形式 $q\le q'$（$Q(q')\subset Q(q)$ かつ $Q(q')$ 上で $q[\psi]\le q'[\psi]$）に対応する作用素 $H,H'$ について $(H'+1)^{-1}\le(H+1)^{-1}$ である。

証明（補題 7.2）

$q_1=q+\langle\cdot,\cdot\rangle$、$\varphi=(H+1)^{-1}f\in D(H)$ とおく。表現定理 (1) から、$\psi\in Q(q)$ について $q_1(\psi,\varphi)=\langle\psi,(H+1)\varphi\rangle=\langle\psi,f\rangle$、特に $q_1[\varphi]=\langle\varphi,f\rangle$ である。したがって

$$q_1[\psi-\varphi]=q_1[\psi]-2\,\mathrm{Re}\langle\psi,f\rangle+\langle\varphi,f\rangle,$$

すなわち $2\,\mathrm{Re}\langle f,\psi\rangle-q_1[\psi]=\langle f,\varphi\rangle-q_1[\psi-\varphi]\le\langle f,\varphi\rangle$ で、等号は $\psi=\varphi$ のとき。後半は、$q'$ の上限の方が小さい集合上の小さい量の上限であることから従う。

∎

定理 7.3（閉形式の単調収束定理（増大列））✓

$q_n$ を稠密な定義域をもつ非負閉形式の列とし、$Q(q_{n+1})\subset Q(q_n)$ かつ $\psi\in Q(q_{n+1})$ で $q_n[\psi]\le q_{n+1}[\psi]$ とする。$H_n$ を $q_n$ に対応する自己共役作用素とし、

$$Q_\infty=\Bigl\{\psi\in\bigcap_nQ(q_n):\ \sup_nq_n[\psi]<\infty\Bigr\},\qquad q_\infty[\psi]=\lim_{n\to\infty}q_n[\psi]$$

とおく。このとき次が成り立つ。

1. $q_\infty$（偏極で定まる形式 $q_\infty(\varphi,\psi)=\lim_nq_n(\varphi,\psi)$）は $Q_\infty$ 上の非負閉形式である。
2. $\mathcal{K}=\overline{Q_\infty}$、$P$ を $\mathcal{K}$ への直交射影、$H_\infty$ を $\mathcal{K}$ 上で $q_\infty$ に対応する自己共役作用素とすると、$(H_n+1)^{-1}\to(H_\infty+1)^{-1}P$ が強収束する。特に $Q_\infty$ が稠密なら、$H_n$ は $H_\infty$ に強レゾルベント収束する。

証明は二段構えです。(1) では、閉形式であることを下半連続性（$\psi_n\to\psi$ のとき $q[\psi]\le\liminf q[\psi_n]$ となる性質）と言い換え、下半連続関数の上限がまた下半連続であることを使います。(2) では、レゾルベント $R_n=(H_n+1)^{-1}$ が単調に減ることから強収束を出し、その極限を変分表示で同定します。

証明（定理 7.3）

(1) $q_n[\varphi+\psi]\le 2q_n[\varphi]+2q_n[\psi]$ から $Q_\infty$ は部分空間で、偏極恒等式の 4 項がそれぞれ収束するので $q_\infty(\varphi,\psi)$ は確定し、非負対称形式になる。$[0,\infty]$ 値関数として $q_\infty=\sup_nq_n$ である（$\bigcap_nQ(q_n)$ の外では、ある $n$ で $q_n[\psi]=\infty$）。各 $q_n$ は 補題 7.1 により下半連続で、下半連続関数の上限は下半連続なので、再び同じ補題から $q_\infty$ は閉である。

(2) $R_n=(H_n+1)^{-1}$ とおく。$0\le R_n\le 1$ で、補題 7.2 から $R_{n+1}\le R_n$。

強収束の存在。 $m\ge n$ について $T=R_n-R_m\ge 0$、$\|T\|\le 2$。正の作用素 $T$ の形式 $\langle\cdot,T\cdot\rangle$ に Cauchy–Schwarz の不等式を使うと $\|Tf\|^2=\langle Tf,Tf\rangle\le\langle Tf,T^2f\rangle^{1/2}\langle f,Tf\rangle^{1/2}\le\|T\|^{1/2}\|Tf\|\,\langle f,Tf\rangle^{1/2}$ なので、

$$\|(R_n-R_m)f\|^2\le 2\bigl(\langle f,R_nf\rangle-\langle f,R_mf\rangle\bigr).$$

$\langle f,R_nf\rangle$ は非増加で非負なので収束し、$(R_nf)$ は Cauchy 列である。極限を $Rf$ とおくと、$R$ は有界な自己共役作用素である。

極限の同定。 $R_\infty=(H_\infty+1)^{-1}P$ とおく。$\psi\in Q_\infty\subset\mathcal{K}$ なら $\langle f,\psi\rangle=\langle Pf,\psi\rangle$ なので、変分表示（$\mathcal{H}$ と $\mathcal{K}$ でそれぞれ使う）と $q_n\le q_\infty$ から

$$\langle f,R_nf\rangle\ge\sup_{\psi\in Q_\infty}\bigl(2\,\mathrm{Re}\langle f,\psi\rangle-q_n[\psi]-\|\psi\|^2\bigr)\ge\sup_{\psi\in Q_\infty}\bigl(2\,\mathrm{Re}\langle Pf,\psi\rangle-q_\infty[\psi]-\|\psi\|^2\bigr)=\langle f,R_\infty f\rangle .$$

よって $\langle f,Rf\rangle\ge\langle f,R_\infty f\rangle$。逆向きのために $F_m[\psi]=q_m[\psi]+\|\psi\|^2-2\,\mathrm{Re}\langle f,\psi\rangle$（$(-\infty,\infty]$ に値をとる下半連続関数）とおき、$\varphi_n=R_nf$ とする。変分表示から $F_n[\varphi_n]=-\langle f,R_nf\rangle$ で、$m\le n$ なら $F_m[\varphi_n]\le F_n[\varphi_n]$。$\varphi_n\to Rf$ なので下半連続性から

$$F_m[Rf]\le\liminf_{n}F_m[\varphi_n]\le\lim_n\bigl(-\langle f,R_nf\rangle\bigr)=-\langle f,Rf\rangle .$$

$m\to\infty$ の上限を取ると $F_\infty[Rf]\le-\langle f,Rf\rangle<\infty$ で、特に $Rf\in Q_\infty$。$\mathcal{K}$ での変分表示から $F_\infty\ge-\langle f,R_\infty f\rangle$ なので $\langle f,Rf\rangle\le\langle f,R_\infty f\rangle$。以上から $\langle f,(R-R_\infty)f\rangle=0$ がすべての $f$ で成り立ち、$R-R_\infty$ は自己共役なので偏極により $R=R_\infty$。

すべての非実数 $z$ への拡張。 $Q_\infty$ が稠密で $P=1$ のとき、$g_z(t)=t/(1-(1+z)t)$ は $[0,1]$ 上連続で、$\lambda\ge 0$ について $g_z(1/(\lambda+1))=(\lambda-z)^{-1}$。関数計算（定理 6.2［スペクトル定理と関数計算］）により $(H_n-z)^{-1}=g_z(R_n)$ である。多項式 $p$ については $p(R_n)\to p(R_\infty)$ が強収束し（積の各因子が一様有界で強収束するから）、Weierstrass の近似定理で $\sup_{[0,1]}|g_z-p|<\varepsilon$ と取れば $\|g_z(R_n)-p(R_n)\|\le\varepsilon$ が $n$ によらず成り立つ。よって $g_z(R_n)\to g_z(R_\infty)$ が強収束し、これは 定義 3.1［作用素の収束と摂動］ の強レゾルベント収束である。

∎

例 7.4（無限に高いデルタ障壁は直線を切り離す）

$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})$、$q_n[\psi]=\|\psi'\|^2+n|\psi(0)|^2$、$Q(q_n)=H^1(\mathbb{R})$ とする。例 5.3［自己共役性の判定］ により各 $q_n$ は閉で、$H_n$ は「$-d^2/dx^2+n\delta$」である。$\sup_nn|\psi(0)|^2<\infty$ は $\psi(0)=0$ と同値なので、$Q_\infty=\{\psi\in H^1:\psi(0)=0\}$、$q_\infty[\psi]=\|\psi'\|^2$。$Q_\infty$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}\setminus\{0\})$ を含むので稠密で、$H_\infty$ は $(-\infty,0)$ と $(0,\infty)$ の Dirichlet ラプラシアンの直和である（例 6.2［自己共役性の判定］ と同じ部分積分による）。定理 7.3 から $H_n\to H_\infty$ は強レゾルベント収束する。障壁を無限に高くすると左右の半直線は独立な系になる、という物理的な直観の厳密版である。

例 7.5（ポテンシャルの切り落としを外す）

$V\ge 0$ を $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ 関数とし、$q_n[\psi]=\|\nabla\psi\|^2+\int\min(V,n)|\psi|^2$（$Q(q_n)=H^1$）とする。$\min(V,n)$ は有界なので $q_n$ は閉で、$H_n=-\Delta+\min(V,n)$ である。単調収束定理（積分の）から $q_\infty[\psi]=\|\nabla\psi\|^2+\int V|\psi|^2$、$Q_\infty=\{\psi\in H^1:\int V|\psi|^2<\infty\}$ で、これは $C_c^\infty$ を含み稠密である。よって $H_n$ は形式和 $H_\infty=-\Delta\dotplus V$ に強レゾルベント収束する。

さらに $V\in L^2_{\mathrm{loc}}$ なら、$\psi\in C_c^\infty$ と $\varphi\in Q_\infty$ について $q_\infty(\varphi,\psi)=\langle\varphi,-\Delta\psi+V\psi\rangle$ なので、表現定理 (3) から $\psi\in D(H_\infty)$、$H_\infty\psi=(-\Delta+V)\psi$。$H_\infty$ は $-\Delta+V|_{C_c^\infty}$ の自己共役拡大で、定理 4.1 により自己共役拡大は閉包ただ一つだから、$H_\infty$ はその閉包に等しい。

注意 7.6（減少列の場合）

減少する閉形式の列 $q_n\downarrow$ については、極限 $\inf_nq_n$ が閉包可能とは限らない。Simon（1978 年）は、この場合も $H_n$ が「$\inf_nq_n$ 以下の最大の閉包可能形式」の閉包に対応する作用素へ強レゾルベント収束することを示した。証明には形式の正則部分という概念が必要になるので、本記事では扱わない（Simon の原論文と、Kato の教科書第 VIII 章 §3 を参照）。

8. 演習

演習 8.1標準

$a_n=0$、$b_n=(n+1)^\alpha$（$\alpha>0$）の Jacobi 行列 $J_0$ が本質的自己共役であるための必要十分条件は $\alpha\le 1$ であることを示せ。

解答

$\alpha\le 1$ なら $\sum 1/b_n=\sum(n+1)^{-\alpha}=\infty$ なので 定理 6.3 から本質的自己共役である。$\alpha>1$ のときは 例 6.5 と同じく $u_{2m}=(-1)^mP_m^\alpha$、$v_{2m+1}=(-1)^mQ_m^\alpha$（他の成分は $0$）とおくと、$b_{2j-2}/b_{2j-1}=((2j-1)/(2j))^\alpha$ などから $Ju=0$、$Jv=e_0$ である。$P_m\le(2m+1)^{-1/2}$、$Q_m\le(m+1)^{-1/2}$ から $|u_{2m}|^2\le(2m+1)^{-\alpha}$、$|v_{2m+1}|^2\le(m+1)^{-\alpha}$ で、$\alpha>1$ ならどちらも二乗総和可能。$\langle J_{\max}v,u\rangle-\langle v,J_{\max}u\rangle=u_0=1$ なので $J_{\max}=J_0^*$ は対称でなく、$J_0$ は本質的自己共役でない。

演習 8.2標準

定理 4.1 の証明で $V\ge 0$ を使った箇所を、$V\ge-e$（$e\ge 0$ は定数）の場合にどう修正すれば $-\Delta+V$ の本質的自己共役性が示せるか答えよ。また、この修正が $V(x)=-|x|^2$ では使えない理由を述べよ。

解答

$V\ge-e$ なら $T=-\Delta+V\ge-e$ なので、補題 2.1 を $T+e$ に適用し、$\mathrm{Ker}(T^*+e+1)=\{0\}$ を示せばよい。$T^*u=-(e+1)u$ なら $\Delta u=(V+e+1)u$ で、Kato の不等式から $\Delta|u|\ge(V+e+1)|u|\ge|u|$。あとは 補題 2.3 で $u=0$ となる（これは 系 4.2 の別証明でもある）。$V=-|x|^2$ では $V+e+1$ がどんな定数 $e$ でも無限遠で負になり、$(V+e+1)|u|\ge|u|$ が成り立たない。下に有界でない場合には、比較作用素と交換子を使う 定理 5.1 が必要になる。

演習 8.3標準

$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})$、$q_n[\psi]=\|\psi'\|^2+n\int_{-1}^1|\psi|^2$（$Q(q_n)=H^1(\mathbb{R})$）とする。定理 7.3 の $Q_\infty$、$\mathcal{K}$、$H_\infty$ を求め、台が $[-1,1]$ に含まれる $f\in L^2$ について $(H_n+1)^{-1}f\to 0$ となることを確かめよ。

解答

$\sup_nn\int_{-1}^1|\psi|^2<\infty$ は $\psi=0$（a.e. on $[-1,1]$）と同値なので、$Q_\infty=\{\psi\in H^1(\mathbb{R}):\psi=0\ \text{on}\ [-1,1]\}$、$q_\infty[\psi]=\|\psi'\|^2$。$H^1$ の関数は連続なので $\psi(\pm1)=0$ で、$Q_\infty$ は $H^1_0(-\infty,-1)\oplus H^1_0(1,\infty)$ と同一視できる。その閉包は $\mathcal{K}=L^2(\mathbb{R}\setminus[-1,1])$ で、$H_\infty$ は二つの半直線上の Dirichlet ラプラシアンの直和である。定理から $(H_n+1)^{-1}f\to(H_\infty+1)^{-1}Pf$ で、$f$ の台が $[-1,1]$ に含まれれば $Pf=0$ なので極限は $0$。$Q_\infty$ が稠密でないので、この場合は通常の意味の強レゾルベント収束ではなく、壁の内部の自由度が「無限のエネルギー」で凍結される極限になっている。

参考文献

• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, 1975 — 第 X 章（Kato の不等式と非負ポテンシャル、Faris–Lavine の定理、Nelson の可換子定理）。
• T. Kato, “Schrödinger operators with singular potentials”, Israel Journal of Mathematics 13 (1972), 135–148.
• W. G. Faris, R. B. Lavine, “Commutators and self-adjointness of Hamiltonian operators”, Communications in Mathematical Physics 35 (1974), 39–48.
• B. Simon, “A canonical decomposition for quadratic forms with applications to monotone convergence theorems”, Journal of Functional Analysis 28 (1978), 377–385.
• K. Schmüdgen, Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space, Springer, 2012 — 準解析ベクトル、Jacobi 作用素とモーメント問題、形式の収束の各章。
• N. I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, Oliver and Boyd, 1965 — 第 1 章（Jacobi 行列と Carleman の条件）。