数学 › 関数解析と作用素論 › 自己共役性の判定 II

閉形式の単調収束定理（増大列）

定理 7.3（「自己共役性の判定 II」§7） ・ ✓公理まで証明済み

qnq_n を稠密な定義域をもつ非負閉形式の列とし、Q(qn+1)⊂Q(qn)Q(q_{n+1})\subset Q(q_n) かつ ψ∈Q(qn+1)\psi\in Q(q_{n+1}) で qn[ψ]≤qn+1[ψ]q_n[\psi]\le q_{n+1}[\psi] とする。HnH_n を qnq_n に対応する自己共役作用素とし、

Q∞={ψ∈⋂nQ(qn): sup⁡nqn[ψ]<∞},q∞[ψ]=lim⁡n→∞qn[ψ]Q_\infty=\Bigl\{\psi\in\bigcap_nQ(q_n):\ \sup_nq_n[\psi]<\infty\Bigr\},\qquad q_\infty[\psi]=\lim_{n\to\infty}q_n[\psi]

とおく。このとき次が成り立つ。

  1. q∞q_\infty（偏極で定まる形式 q∞(φ,ψ)=lim⁡nqn(φ,ψ)q_\infty(\varphi,\psi)=\lim_nq_n(\varphi,\psi)）は Q∞Q_\infty 上の非負閉形式である。
  2. K=Q∞‾\mathcal{K}=\overline{Q_\infty}、PP を K\mathcal{K} への直交射影、H∞H_\infty を K\mathcal{K} 上で q∞q_\infty に対応する自己共役作用素とすると、(Hn+1)−1→(H∞+1)−1P(H_n+1)^{-1}\to(H_\infty+1)^{-1}P が強収束する。特に Q∞Q_\infty が稠密なら、HnH_n は H∞H_\infty に強レゾルベント収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 46 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。