数学 › 関数解析と作用素論 › Hilbert 空間の基礎

弱極限の基本性質

命題 5.3（「Hilbert 空間の基礎」§5）・ ✓公理まで証明済み

Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ において $x_n\rightharpoonup x$ とする。

弱極限は一意である。
$\|x\|\le\liminf_{n\to\infty}\|x_n\|$ （ノルムの弱下半連続性）。
$x_n\to x$ （強収束）であるための必要十分条件は、 $x_n\rightharpoonup x$ かつ $\|x_n\|\to\|x\|$ となることである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 3 件

形式の収束による強レゾルベント収束の判定✓定理 4.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
閉形式と下半連続性✓補題 7.1・自己共役性の判定 II

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