数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

形式の収束による強レゾルベント収束の判定

定理 4.1（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$q_n$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）と $q$ を非負閉形式（定義域は稠密でなくてよい）とし、 $H_n,H$ を対応する作用素、 $P_n,P$ を $\overline{Q(q_n)},\overline{Q(q)}$ への射影とする（定義 2.1）。次の 2 条件を仮定する。

(a)（下極限の不等式）任意の部分列 $(n_k)$ と弱収束する列 $\psi_k\rightharpoonup\psi$ について $q[\psi]\le\liminf_kq_{n_k}[\psi_k]$ 。
(b)（回復列）任意の $\psi\in Q(q)$ に対し、 $\psi_n\to\psi$ （強収束）かつ $\limsup_nq_n[\psi_n]\le q[\psi]$ を満たす列 $(\psi_n)$ がある。

このとき $(H_n+1)^{-1}P_n\to(H+1)^{-1}P$ が強収束する。さらに $\lambda\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ と $t>0$ について $(H_n+\lambda)^{-1}P_n\to(H+\lambda)^{-1}P$ 、 $e^{-tH_n}P_n\to e^{-tH}P$ が強収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

レゾルベントの変分原理（射影つき）✓補題 2.4・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- 表現定理✓定理 4.2・自己共役性の判定
有界列の弱収束部分列（可分性なし）✓系 5.6・Hilbert 空間の基礎
- 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
  - 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
  - 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
弱極限の基本性質✓命題 5.3・Hilbert 空間の基礎
レゾルベントの強収束から関数の強収束へ✓補題 2.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- Weierstrass の多項式近似定理✓系 4.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
- 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
    射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
    スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
    非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
    Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
    Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素
  - 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
  - 正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素
    C*-恒等式✓定理 3.4・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
    スペクトル半径公式（Gelfand）✓定理 6.7・有界作用素と共役作用素この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

閉形式の単調収束定理（減少列）✓定理 4.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

形式の収束による強レゾルベント収束の判定

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件