共役の基本性質

$A, B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$、$\alpha\in\mathbb{C}$ とする。

1. $(A + B)^* = A^* + B^*$、$(\alpha A)^* = \bar\alpha A^*$、$(AB)^* = B^*A^*$、$A^{**} = A$。
2. $\|A^*\| = \|A\|$。
3. $\mathrm{Ker}(A^*) = \mathrm{Ran}(A)^\perp$、および $\overline{\mathrm{Ran}(A)} = \mathrm{Ker}(A^*)^\perp$。
4. $A$ が有界な逆 $A^{-1}\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ を持てば $A^*$ も持ち、$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*$。