自己共役作用素のスペクトル

定理 6.10（「有界作用素と共役作用素」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}\ne\{0\}$ 、 $A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ を自己共役とし、

m = \inf_{\|x\| = 1}\langle x, Ax\rangle,\qquad M = \sup_{\|x\| = 1}\langle x, Ax\rangle

と置く。このとき $\sigma(A)\subset[m, M]\subset\mathbb{R}$ 、 $m, M\in\sigma(A)$ であり、 $z\notin\mathbb{R}$ に対して $\|(A - z)^{-1}\|\le|\mathrm{Im}\,z|^{-1}$ 。さらに $\|A\| = \max(|m|, |M|)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素
- C*-恒等式✓定理 3.4・有界作用素と共役作用素
  - 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
- スペクトル半径公式（Gelfand）✓定理 6.7・有界作用素と共役作用素
  - スペクトルは空でないコンパクト集合✓定理 6.6・有界作用素と共役作用素
    レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素（上で展開済み）
  - レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素
    ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素

これを使っている定理証明で参照している 5 件

ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
レゾルベントの強収束から関数の強収束へ✓補題 2.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
自己共役な縮小の冪と指数の比較✓補題 5.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Löwner 順序の基本性質✓補題 2.1・作用素不等式と積分作用素
RAGE の定理✓定理 7.3・スペクトルの分類

自己共役作用素のスペクトル

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件