数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

レゾルベントの強収束から関数の強収束へ

補題 2.5（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§2）・ ✓公理まで証明済み

$R_n,R$ を有界な自己共役作用素で $\sigma(R_n),\sigma(R)\subset[0,1]$ とし、 $R_n\to R$ が強収束するとする。このとき任意の $\phi\in C([0,1])$ （複素数値）について $\phi(R_n)\to\phi(R)$ が強収束する。
$H\ge0$ を閉部分空間 $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素、 $P$ を $\mathcal{K}$ への射影とし、 $R=(H+1)^{-1}P$ 、 $g(x)=(1+x)^{-1}$ とおく。このとき $\sigma(R)\subset[0,1]$ で、 $\phi(0)=0$ を満たす $\phi\in C([0,1])$ について $\phi(R)=(\phi\circ g)(H)P$ 。特に $\lambda\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ と $t>0$ について

\phi_\lambda(y)=\frac{y}{1+(\lambda-1)y},\qquad \eta_t(y)=\exp\Bigl(-t\Bigl(\frac1y-1\Bigr)\Bigr)\ (y>0),\quad \eta_t(0)=0

は $[0,1]$ 上連続で、 $\phi_\lambda(R)=(H+\lambda)^{-1}P$ 、 $\eta_t(R)=e^{-tH}P$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 43 件、定義なども含めて 49 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Weierstrass の多項式近似定理✓系 4.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    ディニの定理✓定理 4.3・関数列と一様収束この先をたどる →
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
  - Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
  - Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass（上で展開済み）
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素
- 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
- 正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素
  - C*-恒等式✓定理 3.4・有界作用素と共役作用素
    共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
  - スペクトル半径公式（Gelfand）✓定理 6.7・有界作用素と共役作用素
    スペクトルは空でないコンパクト集合✓定理 6.6・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
    レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

形式の収束による強レゾルベント収束の判定✓定理 4.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
一様に下に有界な作用素の半群の極限✓定理 6.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
極限の作用素は極限の和を拡張する✓系 6.3・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

レゾルベントの強収束から関数の強収束へ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件