数学 › 関数解析と作用素論 › 有界作用素と共役作用素

スペクトル半径公式（Gelfand）

定理 6.7（「有界作用素と共役作用素」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X\ne\{0\}$ を複素 Banach 空間、 $A\in\mathcal{B}(X)$ とする。極限 $\lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n}$ は存在し、

r(A) = \lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n} = \inf_{n\ge1}\|A^n\|^{1/n}

が成り立つ。とくに $r(A)\le\|A\|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトルは空でないコンパクト集合✓定理 6.6・有界作用素と共役作用素
- レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素（上で展開済み）
レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素
- ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素

これを使っている定理証明で参照している 3 件

正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素
Krein–Rutman の定理✓定理 6.3・Fredholm 理論
非負形式に関して対称な作用素の有界性（Reid の不等式）✓補題 4.1・局所 definitizability と Krein 空間の摂動論

関連するノック 3 問