有界ボレル関数計算

定理 6.2（「スペクトル定理と関数計算」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を自己共役作用素とする。写像 $\mathcal{B}_b(\mathbb{R})\ni f\mapsto f(A)\in B(\mathcal{H})$ は次の性質を持つ。

$*$ -準同型である: $(\alpha f+\beta g)(A)=\alpha f(A)+\beta g(A)$ 、 $(fg)(A)=f(A)g(A)$ 、 $\bar f(A)=f(A)^*$ 、 $1(A)=1$ 。
$\|f(A)\|\le\sup_{\lambda\in\sigma(A)}|f(\lambda)|$ であり、 $f$ が $\sigma(A)$ 上で連続なら等号が成り立つ。
$f_n\to f$ が各点収束し $\sup_n\|f_n\|_\infty<\infty$ ならば、 $f_n(A)\to f(A)$ は強収束する。
$\psi\in D(A)$ ならば $f(A)\psi\in D(A)$ かつ $Af(A)\psi=f(A)A\psi$ 。
有界作用素 $C$ が $CA\subset AC$ を満たすならば、 $C$ はすべての $E_A(B)$ およびすべての $f(A)$ と可換である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
- Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
- Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
  - 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
- リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 24 件

Temple の不等式✓定理 4.1・2 電子原子と臨界核電荷
Lehmann–Goerisch の定理✓定理 4.3・2 電子原子と臨界核電荷
スペクトル射影の連続性✓補題 5.4・外場 QED と Shale–Stinespring の定理
自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル✓定理 3.3・自由 Dirac 作用素
レゾルベントの強収束から関数の強収束へ✓補題 2.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
自己共役な縮小の冪と指数の比較✓補題 5.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
閉形式の単調収束定理（増大列）✓定理 7.3・自己共役性の判定 II
ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算
可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算
絶対連続部分の相関の減衰✓命題 7.1・スペクトルの分類
不変性・可逆性・ゲージ共変性✓命題 7.2・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
質量ギャップと指数的クラスター性の同値✓定理 3.4・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I
Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成
Δ の複素べきの正則族✓補題 6.1・冨田–竹崎の定理の証明
関数計算で閉じていること✓命題 4.1・von Neumann 環と二重可換子定理
射影の線形包の稠密性✓系 4.2・von Neumann 環と二重可換子定理
Helffer–Sjöstrand 公式✓補題 3.1・正則性クラスと抽象共役作用素法
スペクトルの Lipschitz 連続性✓補題 2.6・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
スペクトル測度と直交多項式✓命題 2.3・Jacobi 行列とモーメント問題
関数計算の差のコンパクト性✓補題 5.8・波動作用素と漸近完全性
dΓ(A) のスペクトル✓定理 7.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
J 非負作用素の Langer スペクトル関数✓定理 4.4・局所 definitizability と Krein 空間の摂動論
2 点関数のスペクトル表示✓定理 5.3・格子 QCD

有界ボレル関数計算

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 24 件

関連するノック 5 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 24 件