数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ II

不変性・可逆性・ゲージ共変性

命題 7.2（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ II」§7）・ ✓公理まで証明済み

定義 7.1 の半群 $P_t$ について次が成り立つ。

$P_t$ は $L^2(\mu_{\Lambda,\beta})$ 上の自己共役な縮小半群で、 $P_t1=1$ 。
（不変性）すべての $f\in L^2(\mu_{\Lambda,\beta})$ と $t\ge0$ で $\int P_tf\,d\mu_{\Lambda,\beta}=\int f\,d\mu_{\Lambda,\beta}$ 。
（可逆性） $\int(P_tf)\,g\,d\mu_{\Lambda,\beta}=\int f\,(P_tg)\,d\mu_{\Lambda,\beta}$ 。
（ゲージ共変性）ゲージ変換 $h\colon\Lambda\to G$ について $(\tau_hf)(U)=f(U^h)$ と置くと、 $\tau_h$ は $L^2(\mu_{\Lambda,\beta})$ のユニタリ作用素で、 $\tau_hP_t=P_t\tau_h$ 。とくに、 $f$ がゲージ不変なら $P_tf$ もゲージ不変である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

生成作用素 L の基本性質✓補題 5.3・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
- コンパクト群の Haar 測度✓定理 4.1・格子ゲージ場
  - コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度
    モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度この先をたどる →
    Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度この先をたどる →
    Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  - 左 Haar 測度定義 3.1・Haar 測度
- Peter–Weyl 分解の各成分でラプラシアンは Casimir 値✓定理 5.3・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  - ラプラシアンは不変ベクトル場の 2 乗和✓命題 5.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
    コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度（上で展開済み）
  - Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン（上で展開済み）
- Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
- Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  - 普遍性と随伴作用✓命題 3.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  - Casimir 元の基底独立性と中心性✓命題 3.4・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
- SU(N) の基本表現・随伴表現の Casimir 値✓命題 4.3・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  - SU(N) 生成子の完全性関係✓補題 4.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  - Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン（上で展開済み）
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
  - Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
  - Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

不変性・可逆性・ゲージ共変性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）