物理学 › 格子場の理論 › 格子ゲージ場有料章

コンパクト群の Haar 測度

定理 4.1（「格子ゲージ場」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度

  • モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度

    • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度（上で展開済み）
  • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度

    • Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

      • コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

      • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間 この先をたどる →
      • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
      • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
      • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
    • $I_φ$ のほぼ加法性✓補題 3.5・Haar 測度

      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
      • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
      • 被覆数 (f:φ) の性質✓補題 3.4・Haar 測度
    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • Fubini の定理（$C_c$ 版）✓補題 2.2・Haar 測度

      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
      • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
• 左 Haar 測度定義 3.1・Haar 測度

これを使っている定理 証明で参照している 22 件

• 生成作用素 L の基本性質✓補題 5.3・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 格子ゲージ理論の Schwinger–Dyson 方程式✓定理 8.1・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 自由期待値の不変性（原論文 Lemma 2.1）✓補題 3.3・Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部
• 時間ゲージと残るゲージ変換の平均（原論文 (6)–(8)、脚注 3）✓命題 3.5・Lüscher (1977)
• ゲージ不変性（原論文 (2.16) と §2.2 の演習）✓命題 4.3・Osterwalder–Seiler (1978) 第 1 部
• 平均 0 の重みでの閉性✓補題 4.7・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
• ユニタリゲージ（原論文 (4.5)–(4.8)）✓命題 5.2・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
• (1.59) 大きな揺らぎの成分での変数変換✓命題 7.3・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 1 部
• Λ 上の積分は全質量を保つ✓補題 6.2・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
• 木ゲージの Faddeev–Popov 恒等式（ねじれたゲージ作用つき）✓補題 8.4・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
• U₀ の AL ゲージ表示 (1.83)–(1.87)✓命題 9.1・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
• 分母は正で、積分領域は空でない✓補題 11.5・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
• 逆 Faddeev–Popov✓補題 11.4・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部
• 積分と和の体積の費用✓補題 4.8・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 3 部
• ゲージ共変性と局所性（原論文 (11)–(13)）✓命題 3.5・準備 1
• 軸ゲージの δ 関数によるゲージ固定（原論文 (9)(10)）✓命題 4.2・準備 5
• 指数座標での Haar 測度（原論文 (18) の σ）✓補題 4.10・準備 5
• 空でない開集合の Haar 測度は正✓補題 3.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• SU(2) の Haar 測度は 3 次元球面の一様測度✓補題 4.3・格子ゲージ場
• 期待値の well-definedness とゲージ不変性✓命題 4.7・格子ゲージ場
• SU(2) リンクの条件付き分布✓命題 3.6・格子場のモンテカルロ法
• Haar 測度の 2 次モーメント✓補題 2.1・強結合展開と閉じ込め