数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ II

生成作用素 L の基本性質

補題 5.3（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ II」§5）・ ✓公理まで証明済み

上の設定で次が成り立つ。

（部分積分） $f,h\in C^\infty(K)$ について $\int(X_if)\,h\,d\mu=-\int f\,\bigl(X_ih-(X_iV)h\bigr)d\mu$ 。したがって $\langle f,-Lh\rangle_{L^2(\mu)}=\int\sum_iX_if\,X_ih\,d\mu,$ $L$ は $L^2(\mu)$ の対称作用素で $-L\ge0$ 、 $\int Lf\,d\mu=0$ 。
（本質的自己共役性） $L$ は $C^\infty(K)$ の上で本質的自己共役である。閉包 $\bar L$ の核は定数関数だけからなる。
（交換関係） $f\in C^\infty(K)$ 、 $j=(e,a)$ について $X_jLf=LX_jf-\sum_i(X_jX_iV)\,X_if-\bigl([\nabla_eV,\nabla_ef]\bigr)_a ,$ ここで $\nabla_eV,\nabla_ef$ を $\mathfrak{su}(N)$ の元 $\sum_b(X_{e,b}V)X_b$ 、 $\sum_c(X_{e,c}f)X_c$ と見て、 $[\cdot,\cdot]$ は Lie 括弧、 $(\cdot)_a$ は $X_a$ 成分である。
（積分した Bochner の等式と不等式） $f\in C^\infty(K;\mathbb{R})$ について $\int(Lf)^2d\mu=\int\sum_{i,j}(X_iX_jf)^2d\mu+\int\sum_{i,j}(X_iX_jV)\,X_if\,X_jf\,d\mu\ \ge\ \int\Bigl(\frac N4|\nabla f|^2+\sum_{i,j}(X_iX_jV)\,X_if\,X_jf\Bigr)d\mu .$

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクト群の Haar 測度✓定理 4.1・格子ゲージ場
- コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度
  - モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度
    $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度（上で展開済み）
  - Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度
    Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理この先をたどる →
    Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
    $I_φ$ のほぼ加法性✓補題 3.5・Haar 測度この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Fubini の定理（ $C_c$ 版）✓補題 2.2・Haar 測度この先をたどる →
    $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  - Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
- 左 Haar 測度定義 3.1・Haar 測度
Peter–Weyl 分解の各成分でラプラシアンは Casimir 値✓定理 5.3・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
- ラプラシアンは不変ベクトル場の 2 乗和✓命題 5.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  - コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度（上で展開済み）
- Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン（上で展開済み）
Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定
- 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
- 普遍性と随伴作用✓命題 3.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
- Casimir 元の基底独立性と中心性✓命題 3.4・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
SU(N) の基本表現・随伴表現の Casimir 値✓命題 4.3・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
- SU(N) 生成子の完全性関係✓補題 4.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
- Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

レゾルベントと勾配の交換、局所性✓補題 5.5・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
強結合での体積に一様な Poincaré 不等式と相関の指数的減衰✓定理 5.6・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
不変性・可逆性・ゲージ共変性✓命題 7.2・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
格子ゲージ理論の Schwinger–Dyson 方程式✓定理 8.1・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II

生成作用素 L の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件