数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ II

格子ゲージ理論の Schwinger–Dyson 方程式

定理 8.1（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ II」§8） ・ ✓公理まで証明済み

定義 2.1 の測度 μ=μΛ,β\mu=\mu_{\Lambda,\beta} と §5.2 の記号で次が成り立つ。

  1. f∈C∞(GE)f\in C^\infty(G^E) と添字 ii について ⟨Xif⟩μ=⟨f XiS⟩μ\langle X_if\rangle_\mu=\langle f\,X_iS\rangle_\mu。したがって各辺 ee について ⟨Δef⟩μ=⟨⟨∇ef,∇eS⟩⟩μ\langle\Delta_ef\rangle_\mu=\bigl\langle\langle\nabla_ef,\nabla_eS\rangle\bigr\rangle_\mu（Δe=∑aXe,aXe,a\Delta_e=\sum_aX_{e,a}X_{e,a}）。
  2. ℓ\ell を、辺 ee を正の向きにちょうど 1 回通り、逆向きには通らない閉路とし、ee から始めて Uℓ=UeAU_\ell=U_eA と書く。ee を含む各プラケット pp を、境界が ee を正の向きに通るように向き付け、ee から始めて Up=UeBpU_p=U_eB_p と書く。このとき N2−12N ⟨tr Uℓ⟩μ=β4N∑p∋e⟨tr(UℓUp−1)−tr(UℓUp)⟩μ+β4N2∑p∋e⟨tr Uℓ (tr Up−tr Up−1)⟩μ.\frac{N^2-1}{2N}\,\langle\mathrm{tr}\,U_\ell\rangle_\mu=\frac{\beta}{4N}\sum_{p\ni e}\bigl\langle\mathrm{tr}(U_\ell U_p^{-1})-\mathrm{tr}(U_\ell U_p)\bigr\rangle_\mu+\frac{\beta}{4N^2}\sum_{p\ni e}\bigl\langle\mathrm{tr}\,U_\ell\,\bigl(\mathrm{tr}\,U_p-\mathrm{tr}\,U_p^{-1}\bigr)\bigr\rangle_\mu .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 56 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。