数学 › 関数解析と作用素論 › 自己共役性の判定

自己共役性の基本判定

命題 2.2（「自己共役性の判定」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を対称作用素とする。

ある $z\in\mathbb{C}$ について $\mathrm{Ran}(A-z) = \mathrm{Ran}(A-\bar{z}) = \mathcal{H}$ ならば、 $A$ は自己共役である。特に $z$ が実数なら条件は $\mathrm{Ran}(A-z)=\mathcal{H}$ の一つでよい。
実数 $\mu\neq 0$ と $\psi\in D(A)$ について $\|(A-i\mu)\psi\|^2 = \|A\psi\|^2 + \mu^2\|\psi\|^2$ が成り立つ。
$\mathrm{Ker}(A^*-i) = \mathrm{Ker}(A^*+i) = \{0\}$ ならば、 $A$ は本質的自己共役である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
非負対称作用素の判定✓補題 2.1・自己共役性の判定 II
Carleman の条件✓定理 6.3・自己共役性の判定 II
Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定
Nelson の可換子定理✓定理 7.1・自己共役性の判定
射影で簡約される自己共役作用素✓補題 6.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

関連するノック 2 問