数学 › 関数解析と作用素論 › 周期作用素と Bloch–Floquet 分解

可分解作用素のスペクトル

定理 3.2（「周期作用素と Bloch–Floquet 分解」§3）・ ✓公理まで証明済み

$x\mapsto A(x)$ を $\mathcal{H}'$ 上の自己共役作用素の族で、 $x\mapsto(A(x)-i)^{-1}$ が可測であるとし、 $A=\int_M^\oplus A(x)\,d\mu$ とする。

すべての $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ について $x\mapsto(A(x)-z)^{-1}$ は可測で、 $A$ は自己共役、 $(A-z)^{-1}=\int^\oplus(A(x)-z)^{-1}d\mu$ である。
$\lambda\in\mathbb{R}$ について $x\mapsto\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))$ は可測で、 $\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A))=\mathrm{ess\,inf}_x\,\mathrm{dist}(\lambda,\sigma(A(x)))$ 。特に、 $\lambda\in\sigma(A)$ であることと、任意の $\varepsilon>0$ で $\mu(\{x:\sigma(A(x))\cap(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\ne\emptyset\})>0$ であることは同値である。
$x\mapsto E_{A(x)}(\{\lambda\})$ は可測で $E_A(\{\lambda\})=\int^\oplus E_{A(x)}(\{\lambda\})\,d\mu$ 。特に、 $\lambda$ が $A$ の固有値であることと、 $\mu(\{x:\lambda\ \text{は}\ A(x)\ \text{の固有値}\})>0$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可分解作用素のノルム✓補題 3.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
  - Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
  - Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

周期 Schrödinger 作用素のファイバー分解✓定理 5.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
バンド構造✓定理 5.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
可分解作用素のスペクトル✓定理 5.6・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
Harper 方程式への帰着✓定理 2.7・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

可分解作用素のスペクトル

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件