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有界関数のスペクトル積分

命題 4.1（「スペクトル定理と関数計算」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f,g\in\mathcal{B}_b(X)$ 、 $\varphi,\psi\in\mathcal{H}$ について次が成り立つ。

$I(fg)=I(f)I(g)$ 、 $I(\bar f)=I(f)^*$ 、 $I(1)=1$ 、 $I$ は線形。
$\langle\varphi,I(f)\psi\rangle=\int_X f\,\mathrm{d}\mu_{\varphi,\psi}$ 、 $\|I(f)\psi\|^2=\int_X|f|^2\,\mathrm{d}\mu_\psi$ 。
$\mu_{I(g)\psi}(B)=\int_B|g|^2\,\mathrm{d}\mu_\psi$ 。
$f_n\in\mathcal{B}_b(X)$ が各点で $f$ に収束し $\sup_n\|f_n\|_\infty<\infty$ ならば、 $I(f_n)\to I(f)$ は強収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算

これを使っている定理証明で参照している 11 件

Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開
Bochner の定理✓定理 2.4・核型空間と Bochner–Minlos の定理
自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
一様に下に有界な作用素の半群の極限✓定理 6.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
一般化固有関数の存在（Schnol–Berezanskii 型）✓補題 8.1・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
切断の除去による有限体積ハミルトニアンの構成✓定理 4.4・P(φ)₂ 模型の構成