数学 › フーリエ解析と超関数 › 核型空間と Bochner–Minlos の定理

Bochner の定理

定理 2.4（「核型空間と Bochner–Minlos の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ を連続な正定値関数で $\varphi(0)=1$ とする。このとき $\mathbb{R}^n$ 上のボレル確率測度 $\mu$ がただ一つ存在して、すべての $x$ で

\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{ix\cdot\xi}\,d\mu(\xi).

逆に、確率測度の特性関数は連続な正定値関数で値 $\varphi(0)=1$ をとる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 150 件、定義なども含めて 174 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正定値関数の基本性質✓命題 2.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
完備化の存在と一意性✓定理 3.2・距離空間
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
- 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
結合スペクトル測度と同時対角化✓定理 7.3・スペクトル定理と関数計算
- 自己共役作用素の（強）可換性定義 7.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
  - ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Minlos の定理（𝒮′ の場合）✓定理 5.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
正型関数の基本性質✓補題 2.3・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部

Bochner の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件